Izpitno vprašanje RAČ2PRA 3900

Iz MaFiRaWiki

(Razlika med različicami)
Različica od 12:49, 8 maj 2006
AleksandraVujasin (Pogovor | prispevki)
Primeri
← Prejšnja različica
Različica od 13:47, 12 maj 2006
AleksandraVujasin (Pogovor | prispevki)
Primeri
Naslednja različica →
Vrstica 73: Vrstica 73:
Časovna zahtevnost je v najboljšem primeru O(n). To dobimo iz vsote : 1 + 1 + 1 +...+ 1 = n - 1. Časovna zahtevnost je v najboljšem primeru O(n). To dobimo iz vsote : 1 + 1 + 1 +...+ 1 = n - 1.
-Pričakovana časovna zahtevnost je O(n<sup>2</sup>).+Pričakovana časovna zahtevnost je '''O(n<sup>2</sup>)'''.
* Poglejmo si algoritem, s katerim urejamo z izbiranjem: * Poglejmo si algoritem, s katerim urejamo z izbiranjem:
Vrstica 97: Vrstica 97:
Časovna zahtevnost je v najboljšem primeru O(n). Časovna zahtevnost je v najboljšem primeru O(n).
-Pričakovana časovna zahtevnost je O(n log n).+Pričakovana časovna zahtevnost je '''O(n log n)'''.
* Poglejmo si poljuben algoritem. * Poglejmo si poljuben algoritem.
Vrstica 120: Vrstica 120:
* f: 1 vpis, 1 rač. indeksa = 2 * f: 1 vpis, 1 rač. indeksa = 2
-Časovna zahtevnost je O(n<sup{|+Časovna zahtevnost je '''O(n<sup{|
|+ ime |+ ime
|- |-
Vrstica 126: Vrstica 126:
|- |-
| 21 || 22 | 21 || 22
-|}>3</sup>). Torej imamo kubični čas. To dobimo iz vsote:+|}>3</sup>)'''. Torej imamo kubični čas. To dobimo iz vsote:
n*(a + n*(b + c + n*(d + e) + f)) = n*a +n<sup>2</sup>*b + n<sup>2</sup>*c + n<sup>3</sup>*d + n<sup>3</sup>*e + n<sup>2</sup>*f (a, b, c ,d ,e in f nadomestimo z preštetimi povečanji števcev, vpisi in primerjavami) in dobimo:<br/> 3*n + 3*n<sup>2</sup> + n<sup>2</sup> + 3*n<sup>3</sup> + 5*n<sup>3</sup> + 2*n<sup>2</sup> = 8*n<sup>3</sup> + 6*n<sup>2</sup> + 3*n. n*(a + n*(b + c + n*(d + e) + f)) = n*a +n<sup>2</sup>*b + n<sup>2</sup>*c + n<sup>3</sup>*d + n<sup>3</sup>*e + n<sup>2</sup>*f (a, b, c ,d ,e in f nadomestimo z preštetimi povečanji števcev, vpisi in primerjavami) in dobimo:<br/> 3*n + 3*n<sup>2</sup> + n<sup>2</sup> + 3*n<sup>3</sup> + 5*n<sup>3</sup> + 2*n<sup>2</sup> = 8*n<sup>3</sup> + 6*n<sup>2</sup> + 3*n.

Različica od 13:47, 12 maj 2006

GFDL Avtor tega članka je študent/ka AleksandraVujasin.

Pripravil/a ga je pri predmetu Računalništvo 2 (FMF PRA).


Kljub temu ste vsi vabljeni k urejanju in popravkom, saj je bistvo wikija ravno v sodelovalnem delu.

Vprašanje

Naštej tipične razrede časovnih zahtevnosti! Za vsakega poišči konkreten primer algoritma in pokaži, da je časovna zahtevnost res takšnega reda.

Odgovor

Časovna zahtevnost je podatek o tem, koliko časa se bo program (oziroma algoritem) pri danih vhodnih podatkih izvajal, preden bo vrnil rešitev. Čas običajno merimo v osnovnih operacijah stroja, ki program izvaja. Časovno zahtevnost podamo kot funkcijo velikosti vhodnih podatkov (npr. velikost tabele). Poznamo tri vrste časovne zahtevnosti:

  • fB - najboljša možnost (best case) ali spodnja meja zahtevnosti
  • fW - najslabša možnost (worst case) ali zgornja meja zahtevnosti
  • fE - pričakovana zahtevnost (expected case) pri povprečnih podatkih

Ker je običajno natančno število operacij težko ali nemogoče določiti, uporabimo O-notacijo, ki označuje red rasti problema. Če velikost vhoda označimo z n, c pa je neka konstanta, potem imamo naslednje zahtevnosti, od najugodnejše do najneugodnejše:

Notacija Zahtevnost
O(1) konstantna (preproste operacije kot so izpis vzorca,...)
O(logn) logaritmska (množenje)
O(n) linearna (vsota n - števil)
O(nlogn) vmesna (quicksort)
O(n2) kvadratna (množenje matrik)
O(n3) kubična (reševanje sistema linearnih enačb)
O(nc), c<1 polinomska
O(cn) eksponentna (rekurzija)

Primeri

Poglejmo si nekaj primerov uporabe časovne zahtevnosti :

  • Poglejmo si algoritem, s katerim urejamo z vstavljanjem:

  1. public static void uredi_z_vstavljanjem(int[] a) {
  2. for (int i = 1; i < a.length; i = i + 1) {
  3. int j = i;
  4. int t = a[j];
  5. while (j > 0 && a[j-1] > t) {
  6. a[j] = a[j-1];
  7. j = j - 1;
  8. }
  9. a[j] = t;
  10. }
  11. }

Časovna zahtevnost je v najslabšem primeru O(n2). To dobimo iz vsote 1 + 2 + ... + (n-1) = (n - 1) * n / 2 = (n2 - n) / 2 .

Časovna zahtevnost je v najboljšem primeru O(n). To dobimo iz vsote : 1 + 1 + 1 +...+ 1 = n - 1.

Pričakovana časovna zahtevnost je O(n2).

  • Poglejmo si algoritem, s katerim urejamo z izbiranjem:

  1. public static void uredi_z_izbiranjem(int[] a) {
  2. for (int i = 0; i < a.length; i = i + 1) {
  3. int j = i;
  4. for (int k = i; k < a.length; k = k + 1) {
  5. if (a[k] < a[j]) {
  6. j = k;
  7. }
  8. }
  9. int t = a[i];
  10. a[i] = a[j];
  11. a[j] = t;
  12. }
  13. }

Časovna zahtevnost je v najslabšem primeru O(n2).
To dobimo iz vsote: (n*2[primerjanje in prirejanje] + 3[prirejanja]) + ((n-1)*2 + 3) +(n-2)*2 + 3) +... + (1*2 + 3) = 2*(n + (n-1) + ... + 2 + 1) + n*3 = n*(n + 1) + n*3 = n*(n + 4) = n2 + 4*n

Časovna zahtevnost je v najboljšem primeru O(n).

Pričakovana časovna zahtevnost je O(n log n).

  • Poglejmo si poljuben algoritem.

a :   ponavljaj_za  i := 1 do n
 
b :       ponavljaj_za  j := 1 do n
 
c :          { vsota  := 0;            
 
d :            ponavljaj_za  k := 1 do n
 
e :                   vsota  := vsoat + a[i,k]*b[k,j];
 
f :            C[i,j] := vsota }
  • a: 1 povečanje števca, 1 vpis, 1 primerjava = 3
  • b: 1 povečanje števca, 1 vpis, 1 primerjava = 3
  • c: 1 vpis = 1
  • d: 1 povečanje števca, 1 vpis, 1 primerjava = 3
  • e: 1 vpis, 2 aritm. oper., 2 rač. indeksa = 5
  • f: 1 vpis, 1 rač. indeksa = 2

Časovna zahtevnost je O(n3). Torej imamo kubični čas. To dobimo iz vsote:

n*(a + n*(b + c + n*(d + e) + f)) = n*a +n2*b + n2*c + n3*d + n3*e + n2*f (a, b, c ,d ,e in f nadomestimo z preštetimi povečanji števcev, vpisi in primerjavami) in dobimo:
3*n + 3*n2 + n2 + 3*n3 + 5*n3 + 2*n2 = 8*n3 + 6*n2 + 3*n.

Osebna orodja