Graf

Iz MaFiRaWiki

(Razlika med različicami)
Različica od 09:13, 25 december 2005
AndrejBauer (Pogovor | prispevki)
Zgled - Izboljšal risanje grafa
← Prejšnja različica
Različica od 09:45, 25 december 2005
AndrejBauer (Pogovor | prispevki)
Definicija - Predelal v Latex. Dodal definicijo povezave in zanke.
Naslednja različica →
Vrstica 2: Vrstica 2:
==Definicija== ==Definicija==
-'''Graf''' G = (V,S,i,r) je matematična struktura, pri kateri je +'''Graf''' <math>G = (V,S,i,r)</math> je matematična struktura, pri kateri je
-* V razred vozlišč,+* <math>V</math> razred vozlišč,
-* S razred polpovezav,+* <math>S</math> razred polpovezav,
-* i:S &rarr; V, [[preslikava]] '''začetek''', ki določi krajišče polpovezave,+* <math>i:S \to V</math>, [[preslikava]] '''začetek''', ki določi krajišče polpovezave,
-* r:S &rarr; S, [[involucija]] '''obrat''' brez negibnih točk, ki polpovezavi določi njeno nasprotno polpovezavo.+* <math>r:S \to S</math>, [[involucija]] '''obrat''' brez [[negibna točka|negibnih točk]], ki polpovezavi določi njeno nasprotno polpovezavo.
 + 
 +'''Povezava''' je (neurejeni) par nasprotnih polpovezav <math>\{u,v\}</math>. '''Krajišči''' take povezave sta vozlišči <math>i(u)</math> in <math>i(v)</math>. Če sta enaki, je povezava '''zanka'''.
Za vsako vozlišče v &isin; V je moč praslike |i<sup>-1</sup>(v)| '''valenca''' ali '''stopnja''' vozlišča v. Označujemo jo z val(v) (pogosto tudi z deg(v) ali d(v)). Za vsako vozlišče v &isin; V je moč praslike |i<sup>-1</sup>(v)| '''valenca''' ali '''stopnja''' vozlišča v. Označujemo jo z val(v) (pogosto tudi z deg(v) ali d(v)).
-V splošnem ima lahko graf [[zanka|zanke]] in [[vzporedna povezava|vzporedne povezave]]. Graf brez zank in vzporednih povezav je [[enostaven graf|enostaven]].+V splošnem ima lahko graf [[zanka|zanke]] in [[vzporedna povezava|vzporedne povezave]]. Graf brez zank in vzporednih povezav je [[enostaven graf|enostaven]]. Predtavimo ga lahko z [[irefleksivna relacija|irefleksivno]] [[simetrična relacija|simetrično]] relacijo na vozliščih.
==Morfizmi grafov ali grafne preslikave== ==Morfizmi grafov ali grafne preslikave==

Različica od 09:45, 25 december 2005

Graf je struktura v diskretni matematiki, s katero lahko ponazorimo omrežje (cest, železnic, www, sistem kanalov, molekul, ...). Graf je sestavljen iz vozlišč ali točk (kraji, postaje, računalniki, atomi, ...) in povezav (ceste, žice, kanali, vezi ...), ki lahko nosijo različne lastnosti.

Vsebina

Definicija

Graf G = (V,S,i,r) je matematična struktura, pri kateri je

  • V razred vozlišč,
  • S razred polpovezav,
  • i:S \to V, preslikava začetek, ki določi krajišče polpovezave,
  • r:S \to S, involucija obrat brez negibnih točk, ki polpovezavi določi njeno nasprotno polpovezavo.

Povezava je (neurejeni) par nasprotnih polpovezav {u,v}. Krajišči take povezave sta vozlišči i(u) in i(v). Če sta enaki, je povezava zanka.

Za vsako vozlišče v ∈ V je moč praslike |i-1(v)| valenca ali stopnja vozlišča v. Označujemo jo z val(v) (pogosto tudi z deg(v) ali d(v)).

V splošnem ima lahko graf zanke in vzporedne povezave. Graf brez zank in vzporednih povezav je enostaven. Predtavimo ga lahko z irefleksivno simetrično relacijo na vozliščih.

Morfizmi grafov ali grafne preslikave

Preslikava f: G → G', med grafoma G = (V,S,i,r) in G' = (V',S',i',r'), ki slika V v V' in S v S', tako da za vsako polpovezavo e ∈ S velja:

  • i'(f(e)) = f(i(e))
  • r'(f(e)) = f(r(e))

se imenuje morfizem grafov ali grafna preslikava.

Grafi z morfizmi določajo kategorijo. Morfizem f, ki je bijekcija tako na množici vozlišč kakor na množici povezav in je njegov inverz f-1 tudi morfizem, je izomorfizem grafov. Grafa, med katerima obstaja izomorfizem pa sta izomorfna. V praksi preverimo, da sta grafa izomorfna tako, da poiščemo preoznačevanje vozlišč in ustreznih povezav.

Zgled

V = {v1,v2,v3,v4,v5,v6}
S = {(a1,v1),(a1,v2),(a2,v2),(a2,v3),(a3,v3),(a3,v4),(a4,v4),(a4,v4),(a5,v5),(a5,v6), (a7,v1),(a7,v4),(a8,v1),(a8,v2),(a9,v4,1),(a9,v4,2),(a10,v3),(a10,v4)}
i(a1,v1) = v1, r(a1,v1) = (a1,v2) ...

Glej tudi

Osebna orodja