Graf

Iz MaFiRaWiki

(Razlika med različicami)
Različica od 09:08, 25 december 2005
AndrejBauer (Pogovor | prispevki)
Formalna definicija
← Prejšnja različica
Trenutna različica
TomazPisanski (Pogovor | prispevki)

Vrstica 1: Vrstica 1:
-'''Graf''' je struktura v [[diskretna matematika|diskretni matematiki]], s katero lahko ponazorimo omrežje (cest, železnic, www, sistem kanalov, molekul, ...). Graf je sestavljen iz [[vozlišče|vozlišč]] ali točk (kraji, postaje, računalniki, atomi, ...) in povezav (ceste, žice, kanali, vezi ...), ki lahko nosijo različne lastnosti. + 
 +'''Graf''' je struktura v [[diskretna matematika|diskretni matematiki]], s katero lahko ponazorimo omrežje (cest, železnic, www, sistem kanalov, molekul, ...). Graf je sestavljen iz [[vozlišče|vozlišč]] ali točk (kraji, postaje, računalniki, atomi, ...) in [[povezava|povezav]] (ceste, žice, kanali, vezi ...), ki lahko nosijo različne lastnosti. Matematična disciplina, ki proučuje lastnost grafov se imenuje [[teorija grafov]].
 + 
 +V veljavi je več različnih abstraktnih definicij grafa, od katerih nekatere dopuščajo zanke (povezave od vozlišča k istemu vozlišču) druge pa ne, nekatere dopuščajo večkratne povezave (več kot eno povezavo med dvema vozliščema) druge ne ipd.
==Definicija== ==Definicija==
-'''Graf''' G = (V,S,i,r) je matematična struktura, pri kateri je +'''Graf''' <math>G = (V,S,i,r)</math> je matematična struktura, pri kateri je
-* V razred vozlišč,+* <math>V</math> razred vozlišč,
-* S razred polpovezav,+* <math>S</math> razred polpovezav,
-* i:S &rarr; V, [[preslikava]] '''začetek''', ki določi krajišče polpovezave,+* <math>i:S \to V</math>, [[preslikava]] '''začetek''', ki določi krajišče polpovezave,
-* r:S &rarr; S, [[involucija]] '''obrat''' brez negibnih točk, ki polpovezavi določi njeno nasprotno polpovezavo.+* <math>r:S \to S</math>, [[involucija]] '''obrat''' brez [[negibna točka|negibnih točk]], ki polpovezavi določi njeno nasprotno polpovezavo.
 + 
 +'''Povezava''' je (neurejeni) par nasprotnih polpovezav <math>\{u,v\}</math>. '''Krajišči''' take povezave sta vozlišči <math>i(u)</math> in <math>i(v)</math>. Če sta enaki, je povezava '''zanka'''.
Za vsako vozlišče v &isin; V je moč praslike |i<sup>-1</sup>(v)| '''valenca''' ali '''stopnja''' vozlišča v. Označujemo jo z val(v) (pogosto tudi z deg(v) ali d(v)). Za vsako vozlišče v &isin; V je moč praslike |i<sup>-1</sup>(v)| '''valenca''' ali '''stopnja''' vozlišča v. Označujemo jo z val(v) (pogosto tudi z deg(v) ali d(v)).
-V splošnem ima lahko graf [[zanka|zanke]] in [[vzporedna povezava|vzporedne povezave]]. Graf brez zank in vzporednih povezav je [[enostaven graf|enostaven]].+V splošnem ima lahko graf [[zanka|zanke]] in [[vzporedna povezava|vzporedne povezave]] (ali večkratne povezave). Graf brez zank in vzporednih povezav je [[enostaven graf|enostaven]]. Predstavimo ga lahko z [[irefleksivna relacija|irefleksivno]] [[simetrična relacija|simetrično]] relacijo na vozliščih.
==Morfizmi grafov ali grafne preslikave== ==Morfizmi grafov ali grafne preslikave==
Vrstica 23: Vrstica 28:
==Zgled== ==Zgled==
-<graphviz layout="dot">+<graphviz layout="neato">
graph G { graph G {
 +v2 [pos="0,0"]
 +v6 [pos="0,3"]
v1--v2[label= a1] v1--v2[label= a1]
v2--v3[label= a2] v2--v3[label= a2]
Vrstica 37: Vrstica 44:
} }
</graphviz> </graphviz>
- V = {v1,v2,v3,v4,v5,v6}+: V = {v1,v2,v3,v4,v5,v6}
- S = {(a1,v1),(a1,v2),(a2,v2),(a2,v3),(a3,v3),(a3,v4),(a4,v4),(a4,v4),(a5,v5),(a5,v6),+: S = {(a1,v1),(a1,v2),(a2,v2),(a2,v3),(a3,v3),(a3,v4),(a4,v4),(a4,v4),(a5,v5),(a5,v6), (a7,v1),(a7,v4),(a8,v1),(a8,v2),(a9,v4,1),(a9,v4,2),(a10,v3),(a10,v4)}
- (a7,v1),(a7,v4),(a8,v1),(a8,v2),(a9,v4,1),(a9,v4,2),(a10,v3),(a10,v4)}+: i(a1,v1) = v1, r(a1,v1) = (a1,v2) ...
- i(a1,v1) = v1, r(a1,v1) = (a1,v2)+
- ...+
==Glej tudi== ==Glej tudi==
 +
* [[predgraf]] * [[predgraf]]
* [[digraf]] * [[digraf]]
* [[enostaven graf]] * [[enostaven graf]]
* [[družina grafov]] * [[družina grafov]]
 +* [[Graphviz]]
 +* [[Graf (podatkovna struktura)]]
 +* [[matrika sosednosti]]
 +* [[omrežje]]
-[[Kategorija:Diskretna matematika]] +[[Kategorija:Teorija grafov]]
-[[Kategorija:Pojmovnik]]+

Trenutna različica

Graf je struktura v diskretni matematiki, s katero lahko ponazorimo omrežje (cest, železnic, www, sistem kanalov, molekul, ...). Graf je sestavljen iz vozlišč ali točk (kraji, postaje, računalniki, atomi, ...) in povezav (ceste, žice, kanali, vezi ...), ki lahko nosijo različne lastnosti. Matematična disciplina, ki proučuje lastnost grafov se imenuje teorija grafov.

V veljavi je več različnih abstraktnih definicij grafa, od katerih nekatere dopuščajo zanke (povezave od vozlišča k istemu vozlišču) druge pa ne, nekatere dopuščajo večkratne povezave (več kot eno povezavo med dvema vozliščema) druge ne ipd.

Vsebina

Definicija

Graf G = (V,S,i,r) je matematična struktura, pri kateri je

  • V razred vozlišč,
  • S razred polpovezav,
  • i:S \to V, preslikava začetek, ki določi krajišče polpovezave,
  • r:S \to S, involucija obrat brez negibnih točk, ki polpovezavi določi njeno nasprotno polpovezavo.

Povezava je (neurejeni) par nasprotnih polpovezav {u,v}. Krajišči take povezave sta vozlišči i(u) in i(v). Če sta enaki, je povezava zanka.

Za vsako vozlišče v ∈ V je moč praslike |i-1(v)| valenca ali stopnja vozlišča v. Označujemo jo z val(v) (pogosto tudi z deg(v) ali d(v)).

V splošnem ima lahko graf zanke in vzporedne povezave (ali večkratne povezave). Graf brez zank in vzporednih povezav je enostaven. Predstavimo ga lahko z irefleksivno simetrično relacijo na vozliščih.

Morfizmi grafov ali grafne preslikave

Preslikava f: G → G', med grafoma G = (V,S,i,r) in G' = (V',S',i',r'), ki slika V v V' in S v S', tako da za vsako polpovezavo e ∈ S velja:

  • i'(f(e)) = f(i(e))
  • r'(f(e)) = f(r(e))

se imenuje morfizem grafov ali grafna preslikava.

Grafi z morfizmi določajo kategorijo. Morfizem f, ki je bijekcija tako na množici vozlišč kakor na množici povezav in je njegov inverz f-1 tudi morfizem, je izomorfizem grafov. Grafa, med katerima obstaja izomorfizem pa sta izomorfna. V praksi preverimo, da sta grafa izomorfna tako, da poiščemo preoznačevanje vozlišč in ustreznih povezav.

Zgled

V = {v1,v2,v3,v4,v5,v6}
S = {(a1,v1),(a1,v2),(a2,v2),(a2,v3),(a3,v3),(a3,v4),(a4,v4),(a4,v4),(a5,v5),(a5,v6), (a7,v1),(a7,v4),(a8,v1),(a8,v2),(a9,v4,1),(a9,v4,2),(a10,v3),(a10,v4)}
i(a1,v1) = v1, r(a1,v1) = (a1,v2) ...

Glej tudi

Osebna orodja