Zunanja mera

Iz MaFiRaWiki

Zunanja mera na X je preslikava \mu^{*} : \mathcal{P}(X) \to [0, \infty], za katero velja:

  • \mu^{*}(\emptyset) = 0;
  • μ * je monotona: če je E \subseteq F \subseteq X, potem \mu^{*}(E) \leq \mu^{*}(F);
  • μ * je števno subaditivna: če je \{E_i\}_{i=1}^{\infty} \subseteq \mathcal{P}(X) (poljubno) zaporedje množic, potem \mu^{*}(\cup_{i=1}^{\infty}E_i) \leq \sum_{i=1}^{\infty} \mu^{*}(E_i).

Množica A \subseteq X je μ * -merljiva, kadar velja \mu^{*}(E) = \mu^{*}(E \cap A) + \mu^{*}(E \cap A^\complement) za vse E \subseteq X.

Izrek Carathéodoryja

Če je μ * zunanja mera na X, potem je družina \mathcal{M} vseh μ * -merljivih množic σ-algebra. Zožitev μ * na \mathcal{M} pa je polna pozitivna mera.

Konstrukcija zunanje mere

Naj bo \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X) družina množic, ki vsebuje \emptyset in X. Naj bo \rho: \mathcal{E} \to [0, \infty] preslikava z lastnostjo \rho(\emptyset) = 0. Potem je s predpisom \mu^{*}(A) = \inf\{\sum_{i=1}^{\infty}\rho(E_i) \ |\ E_i \in \mathcal{E} \land A \subseteq \cup_{i=1}^{\infty}E_i\} definirana zunanja mera na \mathcal{P}(X).

Osebna orodja