Zermelo-Fraenkelovi aksiomi

Iz MaFiRaWiki

Zermelo-Fraenkelovi aksiomi so teorija prvega reda, ki je formalizacija teorije množic. Teorija ima en osnovni relacijski simbol , s pomočjo katerega izrazimo vse ostale pojme teorije množic. Čeprav smo navajeni množice ločiti od elementov (na primer, množice pišemo z velikimi črkami A, B, C, ... in elemente z malimi x, y, z, ...) v Zermelo-Fraenkelovi teoriji ne ločimo med elementi, množicami in funkcijami, saj v njej nastopajo samo množice (v tem se Zermelo-Fraenkelova teorija loči od teorije množic z atomi).

Aksiomi Zermelo-Fraenkelove teorije množic so:

  1. Ekstenzionalnost: x = y \iff \forall z (z \in x \iff z \in y)
  2. Par: \exists z  \forall w  (w \in z \iff w = x \lor w = y)
  3. Separacija: \exists y \forall w (w \in y \iff w \in x \land \phi(w))
  4. Unija: \exists z \forall w (w \in z \iff \exists y (w \in y \land y \in x)
  5. Potenčna množica: \exists z \forall y (y \in z \iff y \subseteq x)
  6. Neskončnost: \emptyset \in \omega \land \forall x (x \in \omega \implies x \cup \{x\} \in \omega)
  7. Zamenjava: \forall x, y, y' (\phi(x,y) \land \phi(x,y') \implies y = y') \implies \exists w \forall y (y \in w \iff \exists x (x \in z \land \phi(x,y)))
  8. Regularnost: x \neq \emptyset \implies \exists y (y \in x \land x \cap y = \emptyset)
  9. Izbira: \forall x \exists y \phi(x,y) \implies \exists f \forall x \phi(x, f(x))

Glej tudi

Osebna orodja