Vektorski produkt

Iz MaFiRaWiki

Vektorski produkt je operacija, ki dvema vektorjema \vec{u} in \vec{v} priredi nov vektor \vec{u} \times \vec{v}, ki je pravokoten na oba vektorja.


Naj bosta \vec{u} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{bmatrix} in \vec{v} = \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\ \end{bmatrix} dva vektorja v \mathbb R^3. Tedaj je vektorski produkt vekrorjev \vec{u} in \vec{v} enak \vec{u} \times \vec{v} = \begin{bmatrix} x_2 \cdot y_3 - x_3 \cdot y_2\\ x_3 \cdot y_1 - x_1 \cdot y_3 \\ x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1 \\ \end{bmatrix}.

Dolžina vektorskega produkta

Če v skupni ravnini vektorjev \vec{u} in \vec{v} kot med njima označimo s φ, je dolžina vektorskega produkta enaka:

\mid \vec{u} \times \vec{v} \mid \ = \ \mid \vec{u} \mid \cdot \mid \vec{v} \mid \cdot \ sin(\phi)

Dolžina vektorskega produkta \mid \vec{u} \times \vec{v} \mid je enaka ploščini paralelograma, katerega nevzporedni stranici sta vektorja \vec{u} in \vec{v}.

Algebraične lastnosti vektorskega produkta

  • Aditivnost:
Za vse vektorje \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in{\mathbb R}^3 velja:
(\vec{u} + \vec{v}) \times \vec{w} = \vec{u} \times \vec{w} + \vec{v} \times \vec{w}
\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}
  • Homogenost:
Za vse vektorje \vec{u}, \vec{v} \in{\mathbb R}^3 in skalarje \alpha \in{\mathbb R} velja:
(\alpha \cdot \vec{u}) \times \vec{v} = \alpha \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{u} \times (\alpha \cdot \vec{v})
  • Linearnost:
Za vse vektorje \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in{\mathbb R}^3 in skalarje \alpha, \beta \in{\mathbb R} velja:
(\alpha \cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{v}) \times \vec{w} = \alpha \cdot (\vec{u} \times \vec{w}) + \beta \cdot (\vec{v} \times \vec{w})
  • Antikomutativnost:
Za vse vektorje \vec{u}, \vec{v} \in{\mathbb R}^3 velja:
\vec{u} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{u}
  • Druge lastnosti:
Za vsak vektor \vec{u} \in{\mathbb R}^3 velja:
\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}
\vec{u} \times \vec{0} = \vec{0}
Osebna orodja