Uporabnik:MatjazG/TempAiry

Iz MaFiRaWiki

Prečni gaussov profil laserskega snopa
Enlarge
Prečni gaussov profil laserskega snopa

Airyjev snop je snop elektromagnetnega valovanja, katerega prečno komponento opišemo z Gaussovo funkcijo. Snope gaussove oblike izračunamo kot rešitve paraksialne Helmholzove enačbe, v praksi pa jih najdemo predvsem v osnovnem laserskem žarku. Gaussovi snopi se imenujejo po nemškem matematiku in fiziku Johannu Carlu Friedrichu Gaussu.

Vsebina

Matematična oblika

Obosna valovna enačba

Obosna valovna enačba se v brezdimenzijski obliki glasi:

i \frac{\partial u}{\partial s} = - \nabla_\perp^2 u

kjer je:

\nabla_\perp^2 := \frac{\partial^2}{{\partial \xi}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial \eta}^2} transverzalni del Laplaceovega operatorja,
\xi = \frac{x}{x_0} in \eta = \frac{y}{x_0} sta transverzalna odmika, reskalirana za (poljubno) razdaljo x_0 \neq 0,
s = \frac{z}{2 k x_0^2} je reskaliran odmik vzdolž optične osi, kjer je k = \frac{\omega}{c} (glavno) valovno število.

Obosna valovna enačba se uporablja kot približek Helmholtzeve (amplitudne) enačbe, ki opisuje stacionarno valovanje:

\nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0

kjer je \nabla^2 Laplacev operator, kadar veljajo neenakosti obosnega približka: \left\vert \frac{\partial^2 u}{{\partial z}^2} \right\vert \ll \left\vert k \frac{\partial u}{\partial z} \right\vert \ll \left\vert k^2 u \right\vert, ob definiciji kompleksne amplitude: \psi \left( x,y,z \right) = u \left( x,y,z \right) e^{i k z}.

Airyjev snop

Airyjev snop je rešitev obosne valovne enačbe, ki se v brezdimenzijski obliki glasi:

u(\xi,s) = u_0 \mathrm{Ai} \left( \xi - \lambda - s^2 \right) e^{i s \left( \xi - \lambda  - \frac{2}{3} s^2 \right)}

Posplošitev:

u(\xi,\eta,s) = e^{i s \left( \xi - \lambda  - \frac{2}{3} s^2 \right)} \, \cdot \, \mathcal{F}^{-1} \left( \exp \left( i k_\xi k_\eta^2 + i \frac{k_\xi^3}{3} \right) L(k_\eta) \right) \left( \xi - \lambda - s^2, \eta \right) = e^{i s \left( \xi - \lambda  - \frac{2}{3} s^2 \right)} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{Ai} \left( k_\eta^2 + \xi - \lambda - s^2 \right) L(k_\eta) e^{ i k_\eta \eta } \, dk_\eta

Začetna hitrost:

\tilde{u}(\xi,\eta,0) = u(\xi - \frac{\tilde{k}_\xi}{k} z , \eta - \frac{\tilde{k}_\eta}{k} z , z)

kjer je:

\rho = \sqrt{x^2+y^2} : oddaljenost od osi snopa,
z : vzdolžna koordinata, merjena od najožjega dela snopa (grla),
i : imaginarno število (za katerega velja i2 = − 1),
k = { 2 \pi  \over   \lambda  } : valovno število
w0 = w(0) : širina snopa v grlu

Funkcije w(z),R(z) in ζ(z) vpeljemo spodaj.

Sorodno lahko zapišemo tudi porazdelitev intenzitete snopa:

I(\rho,z) =  I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2 \rho^2}{w^2(z)} \right)\ .

Parametri snopa

Enlarge

Širina snopa

Širino snopa w(z), ki jo vpeljemo kot oddaljenost od osi z, pri kateri vrednost električne poljske jakosti pade na 1 / e vrednosti na osi, izrazimo kot:

w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_0} \right)}^2 }  \ .

pri čemer je za določeno valovno dolžino območje bližnjega polja z0 enako:

z_0= \frac{\pi w_0^2}{\lambda}

Legi, kjer doseže širina snopa minimum, pravimo grlo. Širina snopa v grlu je w0.

Območje bližnjega polja

Širina snopa v točkah \pm z_0 je:

w(\pm z_0) = w_0 \sqrt{2} \,

Razdaljo med tema dvema točkama označimo z b in ji pravimo območje bližnjega polja ali dolžina grla:

b = 2 z_0 = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda}\ .

Krivinski radij

Ukrivljenost valovnih front, ki sestavljajo snop, opišemo s krivinskih radijem R(z):

R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_0}{z} \right)}^2 } \right] \ .

Pri z = 0 je krivinski radij neskončen in valovne fronte so ravnine. Najmanšo vrednost doseže pri z = z0, kjer je:

R(z) = 2 z_0\ .

Krivinski radij se za z > z0 veča in se za velike z izraža kot:

R(z) \approx z \ .

Kompleksna ukrivljenost

Kompleksno ukrivljenost definiramo kot:

q(z) =  z - iz_0 \ ,

z ostalimi parametri Gaussovega snopa jo povežemo preko recipročne kompleksne ukrivljenosti:

{ 1 \over q(z) }   =   { 1 \over z - iz_0 } =   { z \over z^2 + z_0^2  }  +  i  { z_0 \over z^2 + z_0^2  } = {1 \over R(z) } + i { \lambda \over \pi w^2(z)  }.

Fazni člen

Fazni člen oz. Gouyevo fazo izračunamo kot:

\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_0} \right).

Divergenca snopa

V limiti z \gg z_{0} širino snopa opišemo s približno zvezo

w(z) \approx \frac{w_{0}}{z_{0}}z = \theta z \ .

Divergenca snopa je izražena s kotom:

\Theta = 2 \theta  = 2 \frac{w_0}{z_0} \simeq \frac{2 \lambda}{\pi w_0} \qquad (\theta \mathrm{\ v \ radianih.})

Divergenca snopa je sorazmerna z valovno dolžino ter obratno sorazmerna s širino grla. Dobro kolimirane žarke dobimo torej tako, da uporabimo snop s širokim grlom in majhno valovno dolžino.

Snopi višjega reda

Osnovni Gaussov snop nam predstavlja rešitev paraksialnega približka Helmholzove enačbe, vendar ni edina rešitev te enačbe. Rešijo jo med drugimi tudi snopi višjih redov:

V idealnem primeru (stabilen resonator, homogeno pomnoževalno sredstvo, popolnoma ravna ali pa paraboličn zrcala,...) laser ustvarja osnovni Gaussov snop (pravimo mu tudi TEM00 način delovanja). V realnem laserju različni efekti (na primer spreminjanje optične homogenosti pomnoževalnega sredstva zaradi segrevanja) pripomorejo k popačitvi osnovne gaussove oblike, kar opišemo z bolj kompliciranimi funkcijami (Hermitovo, Laguerrovo,...). Pravimo, da laser deluje v višjem transverzalnem načinu.


Viri

  • Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl (1991). Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83965-5. Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.
  • Yariv, Amnon (1989). Quantum Electronics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-60997-8.
  • Encyclopedia of Laser Physics and Technology[1]

Problemi

\begin{matrix} VS \begin{align}

To je trenutno uporabljeno:

\begin{matrix} u(\xi,\eta,0) & = & \mathcal{F}^{-1} \left( \exp \left( i k_\xi k_\eta^2 + i \frac{k_\xi^3}{3} \right) L(k_\eta) \right) \left( \xi - \lambda , \eta \right) \\ & = & \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \exp \left( i k_\xi k_\eta^2 + i \frac{k_\xi^3}{3} \right) L(k_\eta) e^{ i k_\xi (\xi - \lambda) + i k_\eta \eta } \, dk_\xi dk_\eta \\ & = & \int_{-\infty}^\infty \mathrm{Ai} \left( k_\eta^2 + \xi - \lambda \right) L(k_\eta) e^{ i k_\eta \eta } \, dk_\eta \end{matrix}

To pa bi moralo biti uporabljeno (dela na sl.wikipedia.org, ne pa na wiki.fmf.uni-lj.si)

Nisem uspel razčleniti (neznana funkcija\begin):

\begin{align} u(\xi,\eta,0) & = \mathcal{F}^{-1} \left( \exp \left( i k_\xi k_\eta^2 + i \frac{k_\xi^3}{3} \right) L(k_\eta) \right) \left( \xi - \lambda , \eta \right) \\ & = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \exp \left( i k_\xi k_\eta^2 + i \frac{k_\xi^3}{3} \right) L(k_\eta) e^{ i k_\xi (\xi - \lambda) + i k_\eta \eta } \, dk_\xi dk_\eta \\ & = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{Ai} \left( k_\eta^2 + \xi - \lambda \right) L(k_\eta) e^{ i k_\eta \eta } \, dk_\eta \end{align}


Neuporabljeno

E(\rho,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-\rho^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{\rho^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right)\,
E(\xi,\,s) = Ai(\,s - ( \xi/2)^2 ) \exp(i(\,s\xi/2) - i(\xi^3/12))
E(\xi,s) = Ai \left( s - ( \xi/2)^2 \right) \exp(i(s\xi/2) - i(\xi^3/12))
E(\xi,s) = \mathrm{Ai} \left( s - \left( \frac{\xi}{2} \right) ^2 \right) \exp \left( i \left( \frac{s\xi}{2} \right) - i \left( \frac{\xi^3}{12} \right) \right)
E(\xi,s) = \mathrm{Ai} \left( s - \frac{\xi^2}{4} \right) \exp \left( i \frac{s\xi}{2} - i \frac{\xi^3}{12} \right)
\exp \left( ikz \right)


u(\xi,s) = u(\xi - s^2,0) \exp \left( i \xi s - i \lambda s  - i \frac{2}{3} s^3 \right)
u(\xi,s) = u(\xi - s^2,0) \, e^{i \xi s - i \lambda s  - i \frac{2}{3} s^3}
u(\xi,\eta ,s) = u(\xi - s^2,\eta,0) \exp \left( i \xi s - i \lambda s  - i \frac{2}{3} s^3 \right)
u(\xi,\eta,0) = \mathcal{F}^{-1} \left( \exp \left( i k_\xi k_\eta^2 + i \frac{k_\xi^3}{3} \right) L(k_\eta) \right) \left( \xi - \lambda , \eta \right) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \exp \left( i k_\xi k_\eta^2 + i \frac{k_\xi^3}{3} \right) L(k_\eta) e^{ i k_\xi (\xi - \lambda) + i k_\eta \eta } \, dk_\xi dk_\eta = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{Ai} \left( k_\eta^2 + \xi - \lambda \right) L(k_\eta) e^{ i k_\eta \eta } \, dk_\eta
u(\xi,0) = u_0 \mathrm{Ai} \left( \xi - \lambda \right)
u(\xi,s) = u(\xi - s^2,0) \, e^{i \left( \xi s - \lambda s  - \frac{2}{3} s^3 \right)}

nova Posplošitev:

u(\xi,\eta,s) = \mathcal{F}^{-1} \left( \exp \left( i k_\xi k_\eta^2 + i \frac{k_\xi^3}{3} \right) L(k_\eta) \right) \left( \xi - \lambda - s^2, \eta \right) \, e^{i \left( \xi s - \lambda s  - \frac{2}{3} s^3 \right)} = e^{i \left( \xi s - \lambda s  - \frac{2}{3} s^3 \right)} \, \int_{-\infty}^\infty \mathrm{Ai} \left( k_\eta^2 + \xi - \lambda - s^2 \right) L(k_\eta) e^{ i k_\eta \eta } \, dk_\eta
u(\xi,\eta,s) = e^{i \left( \xi s - \lambda s  - \frac{2}{3} s^3 \right)} \, \cdot \, \mathcal{F}^{-1} \left( \exp \left( i k_\xi k_\eta^2 + i \frac{k_\xi^3}{3} \right) L(k_\eta) \right) \left( \xi - \lambda - s^2, \eta \right) = e^{i \left( \xi s - \lambda s  - \frac{2}{3} s^3 \right)} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{Ai} \left( k_\eta^2 + \xi - \lambda - s^2 \right) L(k_\eta) e^{ i k_\eta \eta } \, dk_\eta

stara Posplošitev:

u(\xi,\eta,0) = \mathcal{F}^{-1} \left( \exp \left( i k_\xi k_\eta^2 + i \frac{k_\xi^3}{3} \right) L(k_\eta) \right) \left( \xi - \lambda , \eta \right) = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{Ai} \left( k_\eta^2 + \xi - \lambda \right) L(k_\eta) e^{ i k_\eta \eta } \, dk_\eta
u(\xi,\eta,s) = u(\xi - s^2,\eta,0) e^{i \left( \xi s - \lambda s  - \frac{2}{3} s^3 \right)}

različni načini zapisa:

u(\xi,s) = u_0 \mathrm{Ai} \left( \xi - \lambda - s^2 \right) e^{i \left( \xi s - \lambda s  - \frac{2}{3} s^3 \right)}
u(\xi,s) = u_0 \mathrm{Ai} \left( \xi - \lambda - s^2 \right) e^{i s \left( \xi - \lambda  - \frac{2}{3} s^2 \right)}
u(\xi,s) = u_0 \mathrm{Ai} \left( \xi - \lambda - s^2 \right) e^{i s \left( \xi - \lambda  - s^2 + \frac{1}{3} s^2 \right)}
u(\xi,s) = u_0 \mathrm{Ai} \left( \xi - \lambda - s^2 \right) e^{i s \left( \xi - \lambda  - s^2 \right)} e^{i \frac{1}{3} s^3}
u(\xi,s) = u_0 \mathrm{Ai} \left( \xi - \lambda - s^2 \right) e^{i s \left( \xi - \lambda  - s^2 \right)} e^{\frac{i s^3}{3}}
u(\xi,s) = u_0 \mathrm{Ai} \left( \xi - \lambda - s^2 \right) e^{i s \left( \xi - \lambda  - s^2 \right)} e^{i s \left( \frac{1}{3} s^2 \right)}
u(\xi,\eta,s) = e^{i \left( \xi s - \lambda s  - \frac{2}{3} s^3 \right)} \, \cdot \, \mathcal{F}^{-1} \left( \exp \left( i k_\xi k_\eta^2 + i \frac{k_\xi^3}{3} \right) L(k_\eta) \right) \left( \xi - \lambda - s^2, \eta \right) = e^{i \left( \xi s - \lambda s  - \frac{2}{3} s^3 \right)} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{Ai} \left( k_\eta^2 + \xi - \lambda - s^2 \right) L(k_\eta) e^{ i k_\eta \eta } \, dk_\eta
u(\xi,\eta,s) = e^{i s \left( \xi - \lambda  - \frac{2}{3} s^2 \right)} \, \cdot \, \mathcal{F}^{-1} \left( \exp \left( i k_\xi k_\eta^2 + i \frac{k_\xi^3}{3} \right) L(k_\eta) \right) \left( \xi - \lambda - s^2, \eta \right) = e^{i s \left( \xi - \lambda  - \frac{2}{3} s^2 \right)} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{Ai} \left( k_\eta^2 + \xi - \lambda - s^2 \right) L(k_\eta) e^{ i k_\eta \eta } \, dk_\eta
i \frac{\partial u}{\partial s} = - \frac{\partial^2 u}{{\partial \xi}^2}
\nabla_\perp^2
{\nabla_\perp}^2
\nabla_{\perp}^2

kjer je Nisem uspel razčleniti (neznana funkcija\stackrel): \nabla_\perp^2 \stackrel{\mathrm {def}}{=} \frac{\partial^2}{{\partial \xi}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial \eta}^2}

kjer je Nisem uspel razčleniti (neznana funkcija\overset): \nabla_\perp^2 \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \frac{\partial^2}{{\partial \xi}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial \eta}^2}


Je aproksimacija Helmholtzeve (amplitudne) enačbe za valovanje, ki se širi predvsem v smeri optične osi z.


Če definiramo ψ = ueikz, kjer je u rešitev obosne valovne enačbe, dobimo približek rešitvi Helmholtzeve (amplitudne) enačbe:

Obosna valovna enačba je približek Helmholtzeve (amplitudne) enačbe, če vzamemo

\psi = u e^{i k z} \implies \nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0
\nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0

Je približek Helmholtzeve (amplitudne) enačbe, in Funkcija ψ = ueikz je nato približna rešitev Helmholtzeve (amplitudne) enačbe:

\nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0

kjer je:

\nabla^2 = \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial y}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial y}^2} Laplacev operator.


Obosna valovna enačba se v brezdimenzijski obliki glasi:

i \frac{\partial u}{\partial s} = - \nabla_\perp^2 u

kjer je:

\nabla_\perp^2 := \frac{\partial^2}{{\partial \xi}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial \eta}^2} transverzalni del Laplaciana,
\xi = \frac{x}{x_0} in \eta = \frac{y}{x_0} sta transverzalna odmika, reskalirana za (poljubno) razdaljo x0, in
s = \frac{z}{2 k x_0^2} je reskaliran odmik vzdolž optične osi, kjer je k = \frac{2 \pi}{\lambda} (glavno) valovno število.

Obosna valovna enačba da približno rešitev Helmholtzeve (amplitudne) enačbe:

\nabla^2 \psi + k^2 \psi \simeq 0

kjer je \nabla^2 Laplacev operator, če vzamemo za amplitudo ψ = ueikz in velja \left\vert \frac{\partial^2 u}{{\partial z}^2} \right\vert \ll k \left\vert \frac{\partial u}{\partial z} \right\vert.


i \frac{\partial u}{\partial s} + \nabla_\perp^2 u = 0
\nabla_\perp^2 u + i \frac{\partial u}{\partial s} = 0
Osebna orodja