Topologija (FMF)/Naloge/Izpit-2007-03-16/Naloga3

Iz MaFiRaWiki

Naj bo \mathcal{B} := \{(q, \infty) \subseteq \mathbb{R} \mid q \in \mathbb{Q}\} družina podmnožic množice realnih števil.

  1. Pokaži, da je \mathcal{B} baza neke topologije τ na množici realnih števil \mathbb{R}.
  2. Opiši vse odprte množice v τ (zanje utemelji, zakaj so odprte, za druge pa pokaži, da niso).
  3. Podaj primer podmnožice A \subseteq \mathbb{R}, ki je kompaktna v (\mathbb{R}, \tau), ni pa kompaktna kot podmnožica \mathbb{R} z evklidsko topologijo.
  4. Naj bo X neprazen kompakten topološki prostor in f\colon X \to (\mathbb{R}, \tau) zvezna preslikava. Dokaži, da je f navzdol omejena in da ima minimum. Dokaži, da ni nujno, da ima maksimum (poišči protiprimer).

Rešitev

Osebna orodja