Topologija (FMF)/Naloge/Izpit-2006-08-30/Naloga4

Iz MaFiRaWiki

Naj bo X normalen topološki prostor in A \subseteq X podmnožica v njem, z I pa označimo enotski interval [0,1] z običajno topologijo. Naj bo \mathcal{I}(A) množica vseh zveznih funkcij iz X v interval I, ki A preslikajo v 0,

  • \mathcal{I}(A) = \{f: X \to I \mid f\ \mathrm{zvezna\ in\ } f|_A \equiv 0\},

in \mathcal{Z}(\mathcal{I}(A)) množica skupnih ničel vseh funkcij iz \mathcal{I}(A):

  • \mathcal{Z}(\mathcal{I}(A)) = \{x \in X \mid \forall f \in \mathcal{I}(A) : f(x) = 0\}.

Dokaži, da velja \mathcal{Z}(\mathcal{I}(A)) = \overline{A}.

Dodatna naloga

Reši nalogo pri šibkejši predpostavki, da je X popolnoma regularen prostor. (To ni bil del izpitne naloge.)

Rešitev

Osebna orodja