Topologija (FMF)/Naloge/Izpit-2006-08-30/Naloga2

Iz MaFiRaWiki

Naj bo X = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0\} (ravnina brez izhodišča). Označimo U_{\alpha, \beta} = \Big\{\big(r \cdot \cos(\varphi), r \cdot \sin(\varphi)\big)\ \Big|\ 0 < r < \infty,\ \alpha < \varphi < \beta\Big\}.

  1. Pokaži, da je \mathcal{B} = \{U_{\alpha, \beta}\ |\ \alpha, \beta \in \mathbb{R},\ \alpha < \beta\} baza neke topologije na X. Označimo to topologijo s τ.
  2. Preveri, da je (X,τ) homeomorfen produktu S^1 \times (0, \infty), če enotsko krožnico S1 opremimo z običajno evklidsko topologijo, interval (0, \infty) pa s trivialno topologijo.
  3. Dokaži, da je prostor (X,τ) kompakten in povezan.

Rešitev

Osebna orodja