Topologija (FMF)/Naloge/Izpit-2006-08-30/Naloga1

Iz MaFiRaWiki

Naj bo X množica, τ topologija na X in τ' šibkejša topologija na X, torej \tau' \subseteq \tau. Dokaži:

  1. Če je prostor (X,τ) kompakten, je tudi (X,τ') kompakten. Če je prostor (X,τ) povezan, je tudi (X,τ') povezan.
  2. Če prostor (X,τ) zadošča pogoju T3, ni nujno, da to velja tudi za (X,τ'). Če (X,τ') zadošča T3, ni nujno, da to velja tudi za (X,τ).
    Namig. Začni s prostorom, ki ni T3, in najdi ustrezno šibkejšo in močnejšo topologijo.
  3. Naj bo A \subseteq X. Označimo s Clτ(A) zaprtje množice A glede na topologijo τ, s Clτ' pa zaprtje A glede na topologijo τ'. Utemelji, da velja \mathrm{Cl}_\tau(A) \subseteq \mathrm{Cl}_{\tau'}(A).

Rešitev

Osebna orodja