Topologija (FMF)/Naloge/Izpit-2005-06-07/Naloga4

Iz MaFiRaWiki

Naj bo A \subseteq X \subseteq \mathbb{R}. Naj bo Y_A = (X \times [0, 1])/_\sim, pri čemer je ekvivalenčna relacija \sim definirana s predpisom: (x, t) \sim (y, s) natanko tedaj, ko je (x,t) = (y,s) ali pa je x = y \in A. Pokaži, da lahko prostor YA vložimo v \mathbb{R}^2 natanko tedaj, ko je množica A zaprta v X.
Namig. Če A ni zaprta v X, pokaži, da YA ni Hausdorffov prostor. Če je A zaprta v X, definiraj tako zvezno preslikavo \gamma\colon X \to [0, \infty), da je γ(x) = 0 natanko tedaj, ko je x \in A. Nato pokaži, da je YA homeomorfen prostoru \{(x, t) \in X \times [0, \infty) \mid 0 \leq t \leq \gamma(x)\}.

Rešitev

Osebna orodja