Topologija (FMF)/Naloge/Izpit-2005-06-07/Naloga4

Iz MaFiRaWiki

< Topologija (FMF) | Naloge | Izpit-2005-06-07

Naj bo $A \subseteq X \subseteq \mathbb{R}$ . Naj bo $Y_A = (X \times [0, 1])/_\sim$ , pri čemer je ekvivalenčna relacija $\sim$ definirana s predpisom: $(x, t) \sim (y, s)$ natanko tedaj, ko je $(x, t) = (y, s)$ ali pa je $x = y \in A$ . Pokaži, da lahko prostor $Y A$ vložimo v $\mathbb{R}^2$ natanko tedaj, ko je množica $A$ zaprta v $X$ .
Namig. Če $A$ ni zaprta v $X$ , pokaži, da $Y A$ ni Hausdorffov prostor. Če je $A$ zaprta v $X$ , definiraj tako zvezno preslikavo $\gamma\colon X \to [0, \infty)$ , da je $γ(x) = 0$ natanko tedaj, ko je $x \in A$ . Nato pokaži, da je $Y A$ homeomorfen prostoru $\{(x, t) \in X \times [0, \infty) \mid 0 \leq t \leq \gamma(x)\}$ .