Topologija (FMF)/Naloge/Izpit-2004-09-01/Naloga1

Iz MaFiRaWiki

Na množici \mathbb{C} \setminus \{0\} definiramo urejenost na sledeči način. Točko z zapišemo v polarnih koordinatah z = r e^{i \varphi}, kjer je \varphi \in [0, 2 \pi). Tedaj je r_1 e^{i \varphi_1} < r_2 e^{i \varphi_2}, če je r1 < r2 ali pa je r1 = r2 in \varphi_1 < \varphi_2. Naj bo U_{(\alpha, \beta)} = \{z \in X \mid \alpha < z < \beta\}. Tedaj je \mathcal{B} = \{U_{(\alpha, \beta)} \mid \alpha < \beta\} baza neke topologije na X (tega ni potrebno dokazovati).

  1. Naj bo A = \{z \in X \mid 1 < |z| \leq 2, \mathrm{Re}(z) > 0, \mathrm{Im}(z) \geq 0\}. Določi Int(A) in \overline{A}.
  2. Določi vsa stekališča zaporedja (a_n = 1 + \frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}.
  3. Pokaži, da prostor X ni separabilen.

Rešitev

Osebna orodja