Topologija (FMF)/Naloge/Izpit-2003-06-16/Naloga4

Iz MaFiRaWiki

Naj bo \mathcal{U} = \{U_n\} lokalno končno odprto pokritje polnega metričnega prostora X. Privzemimo, da za vsak n \in \mathbb{N} obstaja zvezna preslikava f_n\colon X \to X, da je f_n(U_n) \subseteq U_n, fn(x) = x za vsak x \notin U_n in d(f_n(x), x) \leq \frac{1}{2^n} za vsak x \in U_n. Označimo še F_n = f_n \circ f_{n-1} \circ \ldots \circ f_1.

  1. Dokaži, da za vsak x \in X obstaja \lim_{n \to \infty} F_n(x).
  2. Označimo f(x) = \lim_{n \to \infty} F_n(x). Dokaži, da za vsak x \in X obstaja m (odvisen od x), da je f(x) = Fm(x).
  3. Dokaži, da je preslikava f\colon X \to X zvezna.

Opomba. Pokritje je lokalno končno, če ima vsaka točka iz X odprto okolico, ki seka le končno mnogo elementov tega pokritja.

Rešitev

Osebna orodja