Topologija (FMF)/Naloge/Izpit-2002-04-25/Naloga3'

Iz MaFiRaWiki

  1. Naj bo A zaprta podmnožica topološkega prostora X. Če je kvocientni prostor X / A lokalno kompakten, obstaja taka okolica K množice A v X, da je množica K \setminus U kompaktna za vsako odprto okolico U množice A.
  2. Naj bo X metrični prostor in naj bosta (a_n)_{n \in \mathbb{N}} ter (b_n)_{n \in \mathbb{N}} zaporedji v X, za kateri obstaja limita \lim_{n \to \infty} d(a_n, b_n) = 0. Dokaži, da imata zaporedji (a_n)_{n \in \mathbb{N}} ter (b_n)_{n \in \mathbb{N}} ista stekališča.
  3. Naj bo X metrični prostor in (x_n)_{n \in \mathbb{N}} zaporedje brez stekališč v X. Dokaži, da je množica \{x_n \mid n \in \mathbb{N}\} zaprta v X.
  4. Naj bo A zaprta podmnožica povezanega metričnega prostora X in naj bo kvocientni prostor X / A lokalno kompakten. Dokaži, da je tedaj Meja(A) kompaktna množica.
    Namig. Naj bo K okolica za A, ki jo zagotavlja točka 1. Privzemi, da Meja(A) ni kompaktna množica. Uporabi karakterizacijo kompaktnih metričnih prostorov z zaporedji in konstruiraj zaporedje (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq K \setminus A, ki nima stekališč v X. Dokaži, da to vodi v protislovje (pri tem uporabljaj prejšnje točke naloge).

Rešitev

Osebna orodja