Topologija (FMF)/Naloge/Izpit-2002-04-25/Naloga3

Iz MaFiRaWiki

Naj bo X kompakten metrični prostor in naj bo \mathcal{C}(X, X) prostor vseh zveznih funkcij X \to X, opremljen z metriko enakomerne konvergence, torej d(f, g) = \sup \{d(f(x), g(x)) \mid x \in X\}. Naj bo Homeo(X) podprostor v \mathcal{C}(X, X), ki ga sestavljajo vsi homeomorfizmi X \to X.

  1. Dokaži, da za vsak par f, g \in \mathrm{Homeo}(X) velja d(f^{-1}, g^{-1}) = d(f^{-1} \circ g, \mathrm{id}_X).
  2. Dokaži, da je preslikava inv\colon \mathrm{Homeo}(X) \to \mathrm{Homeo}(X), definirana s predpisom inv(f) = f − 1, zvezna.
    Namig. Za dokaz zveznosti preslikave inv pri funkciji f uporabi enakomerno zveznost funkcije f − 1.

Rešitev

Osebna orodja