Topologija (FMF)/Naloge/Izpit-2002-04-25/Naloga2

Iz MaFiRaWiki

Naj bo (\zeta_n)_{n \in \mathbb{N}} zaporedje elementov enotske krožnice S1. Dalje naj bo A neprazna povezana podmnožica v S1. Podmnožica Xn ravnine \mathbb{R}^2 je podana s predpisom X_n = \{(2 - \frac{1}{n}) \cdot \zeta \mid \zeta \in S^1\} \cup \{r \cdot \zeta_n \mid r \in [2 - \frac{1}{n}, 2 - \frac{1}{n+1}]\}. Naj bo X = \{2 \cdot \zeta \mid \zeta \in A\} \cup \bigcup_{n=1}^\infty X_n.

  1. Ugotovi, pri katerih izbirah množice A oziroma zaporedja (\zeta_n)_{n \in \mathbb{N}} je prostor X kompakten. Ugotovitev utemelji.
  2. Dokaži, da je X lokalno kompakten prostor natanko tedaj, ko je A odprta podmnožica v S1.
  3. Ugotovi, pri katerih izbirah množice A in zaporedja (\zeta_n)_{n \in \mathbb{N}} je prostor X povezan. Ugotovitev utemelji.
  4. Dokaži, da je X lokalno povezan prostor natanko tedaj, ko je zaporedje (\zeta_n)_{n \in \mathbb{N}} konvergentno in velja natančno A = \{\lim_{n \to \infty} \zeta_n\}.

Rešitev

Osebna orodja