Topologija (FMF)/Naloge/Izpit-2001-07-10/Naloga2

Iz MaFiRaWiki

Naj bo (a_n)_{n \in \mathbb{N}} tako zaporedje realnih števil, da je 0 < an < 1 za vsak n \in \mathbb{N}. Konstruirajmo podprostor X ravnine \mathbb{R}^2 kot unijo naslednjih množic:

  • točke {(0,1)},
  • daljice (0, 1] \times \{0\},
  • daljic \{\frac{1}{n}\} \times [0, a_n] za vse n \in \mathbb{N}.
  1. Pokaži, da je X povezan natanko tedaj, ko je 1 stekališče zaporedja (a_n)_{n \in \mathbb{N}}.
  2. Pokaži, da je X lokalno kompakten in lokalno povezan natanko tedaj, ko 1 ni stekališče zaporedja (a_n)_{n \in \mathbb{N}}.

Rešitev

Osebna orodja