Topologija (FMF)/Naloge/DN3-2007/Naloga2

Iz MaFiRaWiki

Cantorjeva množica C je podprostor enotskega intervala, ki ga opišemo s formulo

C = [0, 1] \setminus \bigcup_{n=1}^\infty (\bigcup_{k=1}^{3^{n-1}} (\frac{3k-2}{3^n}, \frac{3k-1}{3^n})).
  1. Pokaži, da je C = \bigcap_{n=1}^\infty A_n, kjer so An unije zaprtih intervalov, ki so takole definirane. Najprej A1 = [0,1]. Privzemimo zdaj, da je že definirana množica An − 1, ki je sestavljena iz 2n − 2 komponent (in sicer zaprtih intervalov). Tedaj je množica An unija tistih paroma disjunktnih zaprtih intervalov, ki ostanejo, ko vsaki komponenti množice An − 1 izrežemo srednjo tretjino. Izračunaj vsoto dolžin izrezanih intervalov in iz rezultata sklepaj, da je C popolnoma nepovezana.
  2. Pokaži, da je C kompaktna množica in da ima neštevno mnogo elementov.
    Namig za drugo trditev. Elementi C so natanko vsa realna števila na [0,1], ki jih v trojiškem številskem sestavu lahko zapišemo brez števke 1.
  3. Pokaži, da nobena točka množice C ni izolirana.

    Pomemben izrek pravi, da nekatere izmed zgornjih lastnosti karakterizirajo Cantorjevo množico. Velja: neprazen prostor X je homeomorfen Cantorjevi množici natanko tedaj, ko je popolnoma nepovezan metrizabilen kompakt brez izoliranih točk. Z izrekom si pomagaj pri naslednjih nalogah.

  4. Pokaži: C \times \{0, 1\} \approx C.
  5. Pokaži: \prod_{n=1}^\infty \{0, 1\} \approx C.

Rešitev

Osebna orodja