Topologija (FMF)/Naloge/DN3-2006/Naloga6

Iz MaFiRaWiki

Rečemo, da ima topološki prostor separacijsko lastnost T, če za vsako zaprto množico A^\mathrm{zap.} \subseteq X in vsako točko x \in X, x \notin A, obstaja zvezna funkcija f\colon X \to [0, 1], za katero velja f(x) = 0 in f\vert_A \equiv 1 (torej zvezna funkcija, ki ima x za ničlo, na množici A je konstantno enaka 1, v drugih točkah pa še vedno zavzema vrednosti nekje na intervalu [0,1], na katerem vzamemo običajno evklidsko topologijo).

  • Pokaži: če prostor zadošča pogoju T, zadošča tudi lastnosti T3. Če prostor zadošča T in T0, zadošča tudi T1 in T2. Če prostor zadošča T3 in T4, zadošča tudi T.
    Namig. Za zadnji sklep je v pomoč Urisonova lema, ki pravi: topološki prostor X zadošča pogoju T4 natanko tedaj, ko za vsaki disjunktni zaprti množici A, B \subseteq X obstaja zvezna funkcija f\colon X \to [0, 1], za katero velja f\vert_A \equiv 0 in f\vert_B \equiv 1.

Definiramo: če topologija zadošča separacijskima pogojema T0 in T, tedaj za prostor rečemo, da je popolnoma regularen. Iz zgornje točke se vidi, da je vsak popolnoma regularen prostor tudi regularen in da je vsak normalen prostor tudi popolnoma regularen. Opazimo lahko, da so popolnoma regularni ravno tisti prostori, v katerih lahko z zveznimi funkcijami v interval ločujemo točke od zaprtih množic, pa tudi točke med sabo.

Naj bo X topološki prostor; označimo množico vseh zveznih funkcij iz X v interval [0,1] z \mathcal{F}:

\mathcal{F} := \{f\colon X \to [0, 1] \mid f \mathrm{\ zvezna}\}.

Označimo z I^\mathcal{F} topološki produkt intervalov I: = [0,1] z evklidsko topologijo, indeksiranih po \mathcal{F}:

I^\mathcal{F} := \prod_{f \in \mathcal{F}} I.

Definirajmo preslikavo \iota\colon X \to I^\mathcal{F} s predpisom \iota(x) := (f(x))_{f \in \mathcal{F}}.

Označimo z βX zaprtje (v I^\mathcal{F}) slike preslikave ι:

\beta X := \overline{\iota(X)}.
  • Dokaži, da je βX kompakten Hausdorffov prostor, v katerega je X gosto vložen.

Prostor βX je torej kompaktifikacija prostora X; imenujemo jo Stone-Čechova kompaktifikacija. Izvedemo jo lahko za popolnoma regularne prostore.

Rešitev

Osebna orodja