Topologija (FMF)/Naloge/DN2-2007/Naloga1

Iz MaFiRaWiki

Naj bo X neskončna množica z odlikovanim elementom p \in X. Na X definiramo družino podmnožic

\mathcal{F} = \{F \subseteq X \mid F \mathrm{\ je\ koncna\ mnozica\ ali\ pa\ } p \in F\}.
  1. Pokaži, da \mathcal{F} zadošča pogojem za družino zaprtih množic neke topologije τ na X.
  2. Dokaži: če je množica X števna, potem je prostor (X,τ) 2-števen, če pa je množica X neštevna, potem (X,τ) ni ne 1-števen ne separabilen.
  3. Razišči, katere izmed separacijskih lastnosti (T0, T1, T2, regularnost, normalnost) ima (X,τ).
  4. Pokaži, da (X,τ) zadošča Urisonovi lastnosti: za vsak par disjunktnih, nepraznih in zaprtih podmnožic A, B \subseteq X obstaja zvezna preslikava f\colon (X, A, B) \to ([0, 1], 0, 1).
  5. Določi komponente za povezanost prostora (X,τ).

Rešitev

Osebna orodja