Topologija (FMF)/Naloge/DN2-2006/Naloga2

Iz MaFiRaWiki

Naj bo X topološki prostor, Y pa metrični prostor (metriko na njem označimo z d). Na prostoru \mathcal{C}(X, Y) vseh zveznih funkcij iz X v Y definiramo topologijo enakomerne konvergence z bazo \mathcal{B} = \{U(f, r) \mid f \in \mathcal{C}(X, Y), r > 0\}, kjer je U(f, r) = \{g \in \mathcal{C}(X, Y) \mid  \sup_{x \in X} d(f(x), g(x)) < r\}.

  1. Preveri, da je \mathcal{B} baza. Dokaži, da je dobljen topološki prostor Hausdorffov.
  2. Pokaži upravičenost imena topologije: zaporedje zveznih funkcij (f_n\colon X \to Y)_{n \in \mathbb{N}} konvergira k funkciji f \in \mathcal{C}(X, Y) v tej topologiji natanko tedaj, ko enakomerno konvergira k f.
  3. Naj bo Y = \mathbb{R} (z evklidsko metriko). Dokaži, da je podprostor vseh omejenih zveznih funkcij \mathcal{B}(X, Y) = \{f \in \mathcal{C}(X, Y) \mid f \mathrm{\ omejena}\} metrizabilen prostor. Najdi tako metriko, da bodo bazne množice U(f,r) ravno odprte krogle v tej metriki.
  4. Dokaži, da je topologija enakomerne konvergence močnejša od topologije konvergence po točkah.
  5. Dokaži: če je A poljubna množica, na kateri imamo definirani topologiji τ, τ', da je τ šibkejša od τ', in je a \in A limita zaporedja (a_n) \subseteq A glede na močnejšo topologijo, tedaj je limita zaporedja tudi glede na šibkejšo topologijo.

Zadnji dve točki povesta, kar veste že iz analize 1: če zaporedje zveznih funkcij konvergira enakomerno, tedaj konvergira tudi po točkah.

Rešitev

Osebna orodja