Topologija (FMF)/Naloge/DN2-2006/Naloga1

Iz MaFiRaWiki

Na množici X = \{n \in \mathbb{N} \mid n \geq 2\} definiramo topologijo τ z bazo \mathcal{B} = \{U_k \mid k \in \mathbb{N}, k \geq 2\}, kjer je U_k = \{x \in X \mid x \mathrm{\ deli\ } k\}.

  1. Preveri, katerim separacijskim lastnostim T0, T1, T2, T3, T4 zadošča prostor (X,τ).
  2. Preveri, ali je prostor (X,τ) povezan, povezan s potmi, lokalno povezan oz. lokalno povezan s potmi.
  3. Kakšno topologijo ima podprostor vseh praštevil?
  4. Definirajmo še eno topologijo τ' na X, in sicer naj bo podana z bazo \mathcal{B}' = \{U_k' \mid k \in \mathbb{N}, k \geq 2\}, kjer je U_k' = \{x \in X \mid x \leq k\}. Dokaži, da ima množica A = \{n! \mid n \in \mathbb{N}, n \geq 2\} vseh faktorial od 2 naprej enako topologijo, ne glede na to, ali jo gledamo kot podprostor v (X,τ) ali kot podprostor v (X,τ').

Rešitev

Osebna orodja