Topologija (FMF)/Naloge/DN1-2007/Naloga2

Iz MaFiRaWiki

< Topologija (FMF) | Naloge | DN1-2007

Podana je družina podmnožic ravnine $\mathbb{R}^2$ $\mathcal{B} := \{(a, b) \times \{c\} \subseteq \mathbb{R}^2 \mid a, b, c \in \mathbb{R}, a < b\}$ .

Z besedami opiši tipičen element družine $\mathcal{B}$ in pokaži, da je $\mathcal{B}$ baza neke topologije na $\mathbb{R}^2$ (z $\mathcal{B}$ porojeno topologijo v nadaljevanju označimo s $τ$ ).
Pokaži, da je $τ$ strogo močnejša od običajne evklidske topologije na $\mathbb{R}^2$ .
Določi notranjost množice $A = [-1, 1] \times [1, 2]$ glede na topologijo $τ$ .
Razišči konvergenco in poišči limite zaporedij $a_n = (\frac{1}{n}, 0)$ in $b_n = (0, \frac{1}{n})$ .
Ugotovi, ali je prostor $(\mathbb{R}^2, \tau)$ separabilen, 1-števen ali 2-števen.
Dokaži, da je prostor $(\mathbb{R}^2, \tau)$ metrizabilen.