Topologija (FMF)/Naloge/DN1-2007/Naloga2

Iz MaFiRaWiki

Podana je družina podmnožic ravnine \mathbb{R}^2 \mathcal{B} := \{(a, b) \times \{c\} \subseteq \mathbb{R}^2 \mid a, b, c \in \mathbb{R}, a < b\}.

  1. Z besedami opiši tipičen element družine \mathcal{B} in pokaži, da je \mathcal{B} baza neke topologije na \mathbb{R}^2 (z \mathcal{B} porojeno topologijo v nadaljevanju označimo s τ).
  2. Pokaži, da je τ strogo močnejša od običajne evklidske topologije na \mathbb{R}^2.
  3. Določi notranjost množice A = [-1, 1] \times [1, 2] glede na topologijo τ.
  4. Razišči konvergenco in poišči limite zaporedij a_n = (\frac{1}{n}, 0) in b_n = (0, \frac{1}{n}).
  5. Ugotovi, ali je prostor (\mathbb{R}^2, \tau) separabilen, 1-števen ali 2-števen.
  6. Dokaži, da je prostor (\mathbb{R}^2, \tau) metrizabilen.

Rešitev

Osebna orodja