Topologija (FMF)/Naloge/DN1-2007/Naloga1

Iz MaFiRaWiki

Na množici \mathbb{N} \times \mathbb{N} (kjer je \mathbb{N} = \{1, 2, 3 \ldots\}) definiramo družino podmnožic \tau := \{S \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid (n, m) \in S \Rightarrow n \leq m\} \cup \{\mathbb{N} \times \mathbb{N}\}.

  1. Ugotovi in z besedami opiši, katere množice so v družini τ. Nato pokaži, da je družina τ topologija na \mathbb{N} \times \mathbb{N}.
  2. Določi notranjosti in zaprtja naslednjih podmnožic \mathbb{N} \times \mathbb{N}:
    • A = \{1\} \times \mathbb{N},
    • B = \mathbb{N} \times \{1\},
    • C = {(4,2)},
    • D = \{(n, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid n \in \mathbb{N}\}.
  3. Katere separacijske lastnosti (T0, T1,...) ima prostor (\mathbb{N} \times \mathbb{N}, \tau)?
  4. Opiši topologijo, ki jo množica E = \{(n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid n \leq m podeduje kot podprostor v (\mathbb{N} \times \mathbb{N}, \tau). Kakšno topologijo pa podeduje njen komplement EC?
  5. Pokaži, da je trivialna topologija edina možna topologija \varkappa, s katero lahko opremimo \mathbb{N}, da bo funkcija f\colon (\mathbb{N} \times \mathbb{N}, \tau) \to (\mathbb{N}, \varkappa), podana s predpisom f(n,m) = m, zvezna.

Rešitev

Osebna orodja