Topologija (FMF)/Naloge/4.kolokvij-2001-06-08/Naloga3

Iz MaFiRaWiki

Naj za naravno število m simbol \mathbb{R}^m_+ označuje zgornji zaprt polprostor evklidskega prostora \mathbb{R}^m, tj. \mathbb{R}^m_+ = \mathbb{R}^{m-1} \times [0, \infty), simbol \mathbb{R}^m_- pa spodnji zaprt polprostor, \mathbb{R}^m_- = \mathbb{R}^{m-1} \times (-\infty, 0].

  1. Naj bosta Y1 in Y2 taka zaprta podprostora prostora \mathbb{R}^n, da velja
    Y_1 \subseteq \mathbb{R}^n_+, Y_2 \subseteq \mathbb{R}^n_- in Y_1 \cap (\mathbb{R}^{n-1} \times \{0\}) = Y_2 \cap (\mathbb{R}^{n-1} \times \{0\}) = \{0^n\}.
    Privzemimo, da sta prostora Y1, Y2 absolutna ekstenzorja za razred normalnih prostorov. Dokaži, da je tedaj Y_1 \cup Y_2 retrakt prostora \mathbb{R}^n.
  2. Naj bosta Y1 in Y2 taka zaprta podprostora \mathbb{R}^n, da velja Y_1 \cap Y_2 = \{0^n\}. Dokaži, da je Y = Y_1 \cup Y_2 absolutni ekstenzor za razred normalnih prostorov natanko tedaj, ko sta Y1 in Y2 absolutna ekstenzorja za razred normalnih prostorov.
    Navodilo. Zamenjaj Y1 s (homeomorfnim) grafom Y_1' = \Gamma(f_1) \subseteq \mathbb{R}^{n+1}_+ primerne zvezne funkcije f_1\colon Y_1 \to [0, \infty). Podobno zamenjaj Y2 z grafom Y_2' = \Gamma(f_2) \subseteq \mathbb{R}^{n+1}_- primerne zvezne funkcije f_2\colon Y_2 \to [0, \infty). Potem uporabi prvo točko.

Rešitev

Osebna orodja