Topologija (FMF)/Naloge/4.kolokvij-2001-06-08/Naloga1

Iz MaFiRaWiki

  1. Naj bo X topološki prostor in f_n\colon X \to [0, 1] zaporedje zveznih preslikav. Dokaži, da je preslikava f\colon X \to [0, 1], podana s predpisom f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} f_n(x), dobro definirana in zvezna. Potem določi f − 1(0).
  2. Naj bo X normalen topološki prostor in A, B zaprti disjunktni podmnožici v X. Pokaži, da obstaja zvezna funkcija f\colon X \to [0, 1] z lastnostma f − 1(0) = A, f\vert_B \equiv 1 natanko tedaj, ko je A = \bigcap_{n=1}^\infty U_n za neko padajoče zaporedje odprtih množic U_1 \subseteq U_2 \subseteq U_3 \subseteq \ldots

Rešitev

Osebna orodja