Topologija (FMF)/Naloge/4.kolokvij-2000-05-31/Naloga1

Iz MaFiRaWiki

Naj bosta X in Y s potmi povezana topološka prostora z vsaj dvema točkama in naj bo (u, v) \in X \times Y poljubna točka.

  1. Pokaži, da je X \times Y \setminus \{(u, v)\} s potmi povezan topološki prostor.
  2. Naj bosta X in Y še lokalno s potmi povezana Hausdorffova prostora brez izoliranih točk in naj bo (w, z) \in X \times Y, (w, z) \neq (u, v). Pokaži, da je tedaj tudi prostor X \times Y \setminus \{(u, v), (w, z)\} povezan s potmi (brez izgube splošnosti lahko privzameš \min \{|X|, |Y|\} \geq 3).
    Namig. Dokaz lahko napraviš bodisi kot posplošitev prejšnje točke bodisi neposredno.
  3. S pomočjo prejšnje točke dokaži, da iz X \times Y \approx S^1, kjer sta X in Y poljubna topološka prostora, sledi bodisi X \approx S^1 in Y \approx \{\mathrm{tocka}\} bodisi X \approx \{\mathrm{tocka}\} in Y \approx S^1.

Rešitev

Osebna orodja