Topologija (FMF)/Naloge/3.kolokvij-2007-04-19/Naloga2

Iz MaFiRaWiki

  1. V polarnih koordinatah v ravnini je podana preslikava
    f\colon \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\} \to \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}, \quad (r, \varphi) \mapsto (\frac{1}{r}, \varphi).
    Zapiši preslikavo f v kartezičnih koordinatah in dokaži, da je homeomorfizem. Ugotovi, kam se s preslikavo f preslikajo krožnice s središčem v izhodišču.
  2. Poišči kak podprostor ravnine \mathbb{R}^2, ki je homeomorfen kompaktifikaciji z eno točko prostora
    X = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1\} \cup \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \cdot y = 0 \mathrm{\ in\ } |x| + |y| \geq 1\}
    (obstoj homeomorfizma skrbno dokaži).

Rešitev

Osebna orodja