Topologija (FMF)/Naloge/3.kolokvij-2007-04-19/Naloga2

V polarnih koordinatah v ravnini je podana preslikava
$f\colon \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\} \to \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}, \quad (r, \varphi) \mapsto (\frac{1}{r}, \varphi)$ .
Zapiši preslikavo $f$ v kartezičnih koordinatah in dokaži, da je homeomorfizem. Ugotovi, kam se s preslikavo $f$ preslikajo krožnice s središčem v izhodišču.
Poišči kak podprostor ravnine $\mathbb{R}^2$ , ki je homeomorfen kompaktifikaciji z eno točko prostora
$X = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1\} \cup \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \cdot y = 0 \mathrm{\ in\ } |x| + |y| \geq 1\}$
(obstoj homeomorfizma skrbno dokaži).