Topologija (FMF)/Naloge/3.kolokvij-2006-04-10/Naloga4

Iz MaFiRaWiki

Naj bo \underline{a} = (a_n)_{n \in \mathbb{N}} omejeno zaporedje realnih števil. Naj bo X_{\underline{a}} = \{(0, 0)\} \cup (\bigcup_{n = 1}^\infty \{(1-t) \cdot (\frac{1}{n}, a_n) + t \cdot (\frac{1}{n+1}, a_{n+1}) \mid t \in [0, 1]\}) (prostor X_{\underline{a}} je lomljena črta, ki povezuje točke (\frac{1}{n}, a_n), ki ji dodamo še koordinatno izhodišče).

  1. Pokaži, da je prostor X_{\underline{a}} kompakten natanko tedaj, ko zaporedje \underline{a} konvergira k 0.
  2. Pokaži, da prostor X_{\underline{a}} ni lokalno kompakten natanko tedaj, ko ima zaporedje \underline{a} vsaj dve različni stekališči s1 in s2, da je s_1 \geq 0 in s_2 \leq 0.

Rešitev

Osebna orodja