Topologija (FMF)/Naloge/3.kolokvij-2002-04-04/Naloga4

Iz MaFiRaWiki

  1. Naj bo \varphi\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} zvezna funkcija. Dokaži, da za vsako neprazno množico A \subseteq \mathbb{R}^n velja enakost \sup \varphi(A) = \sup \varphi(\overline{A}).
  2. Naj bo (Y,d) metrični prostor. Naj bo \mathcal{C}(\mathbb{R}^n, Y) množica vseh zveznih preslikav \mathbb{R}^n \to Y. Za f \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^n, Y), za neprazno podmnožico A \subseteq \mathbb{R}^n in za pozitivno realno število ε označimo naslednjo podmnožico v \mathcal{C}(\mathbb{R}^n, Y):
    U(f, A, \epsilon) = \{g \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^n, Y) \mid \sup \{d(f(x), g(x)) \mid x \in A\} < \epsilon\}.
    Dokaži, da za vsako omejeno neprazno množico A v \mathbb{R}^n velja enakost U(f, A, \epsilon) = U(f, \overline{A}, \epsilon) (pomagaj si s prejšnjo točko).
  3. S pomočjo prejšnje točke dokaži, da je družina
    \{U(f, A, \epsilon) \mid f \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^n, Y), \epsilon > 0, A \mathrm{\ omejena\ stevna\ neprazna\ podmnozica\ } \mathbb{R}^n\}
    baza kompaktno-odprte topologije na \mathcal{C}(\mathbb{R}^n, Y).

Rešitev

Osebna orodja