Topologija (FMF)/Naloge/3.kolokvij-2000-04-20/Naloga2

Iz MaFiRaWiki

Naj bo (a_n)_{n \in \mathbb{N}} poljubno zaporedje v [0,1]; a_n \in [0, 1], \forall n \in \mathbb{N}. Dalje naj bo b \in [0, 1] poljubna točka. Podprostor X ravnine \mathbb{R}^2 je podan z definicijo X := (\bigcup_{n=1}^\infty \{\frac{1}{n}\} \times [0, 1] \cup [\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}] \times \{a_n\}) \cup \{(0, b)\}.

  1. Ali je prostor X povezan? (Odgovor utemelji.)
  2. Pokaži, da je prostor X lokalno povezan natanko tedaj, ko je zaporedje (a_n)_{n \in \mathbb{N}} konvergentno in velja \lim_{n \to \infty} a_n = b.
    Nasvet. Razmisli o stekališčih zaporedja an.

Rešitev

Osebna orodja