Topologija (FMF)/Naloge/2.kolokvij-2005-01-12/Naloga4

Iz MaFiRaWiki

Naj bosta (X,dX) in (Y,dY) metrična prostora. Prostor \mathcal{C}(X, Y) zveznih preslikav X \to Y opremimo s topologijo konvergence po točkah.

Naj bo c > 0 pozitivno število. Naj bo \mathcal{L} podmnožica v \mathcal{C}(X, Y), ki jo tvorijo Lipschitzove preslikave s koeficientom c, torej \mathcal{L} = \{f \in \mathcal{C}(X, Y) \mid d_Y(f(x_1), f(x_2)) \leq c \cdot d_X(x_1, x_2) \mathrm{\ za\ } \forall x_1, x_2 \in X\}.

  1. Naj bo (f_n)_{n \in \mathbb{N}} tako zaporedje v \mathcal{L}, da je zaporedje vrednosti (f_n(x))_{n \in \mathbb{N}} (\star) konvergentno zaporedje v Y za vsak element x \in X. Definirajmo funkcijo f\colon X \to Y s predpisom f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x). Dokaži, da je f zvezna in da velja f \in \mathcal{L}.
  2. Naj bo S gosta podmnožica v X in (f_n)_{n \in \mathbb{N}} zaporedje v \mathcal{L}. Dalje naj bo Y poln metrični prostor. Dokaži: če je (\star) konvergentno zaporedje v Y za vsak element x \in S, je v resnici (\star) konvergentno zaporedje za vsak element x \in X.
  3. Naj bo X separabilen, Y pa poln metrični prostor. Dokaži, da je \mathcal{L} zaprt podprostor v \mathcal{C}(X, Y).
  4. Naj bo X separabilen, Y pa kompakten metrični prostor. Dokaži, da je \mathcal{L} kompakten prostor.

Pri zadnjih dveh točkah se skliči na dejstvo, ki ga ni treba dokazati:
Trditev. Naj bo X separabilen, Y pa poln metrični prostor. Tedaj je \mathcal{C}(X, Y) metrizabilen prostor.

Rešitev

Osebna orodja