Topologija (FMF)/Naloge/2.kolokvij-2004-01-26/Naloga2

Iz MaFiRaWiki

Na prostoru \mathbb{R}^2 je definirana poštarska metrika s predpisom

d_P(a, b) = \begin{cases} d(a, b), & a \mathrm{\ in\ } b \mathrm{\ lezita\ na\ premici\ skozi\ izhodisce}, \\ d(a, (0, 0)) + d((0, 0), b), & \mathrm{sicer}, \end{cases}

kjer je d običajna (evklidska) metrika na \mathbb{R}^2 (ni potrebno dokazovati, da je dP metrika).

  1. Nariši krogli s središčem v točki (1,0) in radijema 1 in 2.
  2. Naj bo K(r) = K((0,0),r) (navadna) krogla v evklidski topologiji in naj bo I(a,ε) odprt interval od točke (1 − ε)a do točke (1 + ε)a. Pokaži, da je \mathcal{B} = \{K(r) \mid r > 0\} \cup \{I(a, \epsilon) \mid a \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}, \epsilon \in (0, 1)\} baza topologije, ki jo porodi metrika dP.
  3. Dokaži, da zaprta krogla \overline{K}_P(a, r) ni kompaktna, če je r > d(a,(0,0)).
  4. Ali je preslikava f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, definirana s predpisom f(x, y) = \begin{cases} (x, y), & x \geq 0, \\ (-x, y), & x < 0, \end{cases}
    zvezna? (Prostor \mathbb{R}^2 je opremljen s topologijo, ki jo porodi metrika dP.)

Rešitev

Osebna orodja