Topologija (FMF)/Naloge/1.kolokvij-2006-11-30/Naloga2

Iz MaFiRaWiki

Definirajmo družino \mathcal{B} podmnožic množice \mathbb{R}^2 z naslednjim predpisom: \mathcal{B} = \{\{a\} \times (-\infty, b) \mid a, b \in \mathbb{R}\}.

  1. Dokaži, da je \mathcal{B} baza neke topologije na \mathbb{R}^2.
  2. Kaj sta notranjost in zaprtje množice (-1, 1) \times [0, 1] glede na τ?
  3. Dokaži, da je za poljubno funkcijo f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} množica A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y < f(x)\} odprta glede na topologijo τ.
  4. Razišči konvergenco in poišči limite zaporedij a_n = (\frac{1}{n}, 0) in b_n = (0, \frac{1}{n}) v prostoru (\mathbb{R}^2, \tau).
  5. Ali je prostor (\mathbb{R}^2, \tau) 1-števen, 2-števen, separabilen?
  6. Ali je prostor (\mathbb{R}^2, \tau) metrizabilen?

Vse odgovore utemelji.

Rešitev

Osebna orodja