Topologija (FMF)/Naloge/1.kolokvij-2005-12-01/Naloga4

Iz MaFiRaWiki

Naj bo P_{(a_1, a_2), (b_1, b_2)} = \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid a_i \leq x_i < b_i \mathrm{\ za\ } i = 1, 2\}. Naj bo \mathcal{B} = \{P_{(a_1, a_2), (b_1, b_2)} \mid a_i, b_i \in \mathbb{Q}, a_i < b_i \mathrm{\ za\ } i = 1, 2\} (za lažje reševanje naloge si skiciraj kakšno bazično množico, npr. P(0,1),(1,4)).

  1. Pokaži, da je \mathcal{B} baza neke topologije τ na množici \mathbb{R}^2.
  2. Za množico A = [0, 1) \times (0, 1] določi njeno notranjost in zaprtje.
  3. Označimo s τE evklidsko topologijo na \mathbb{R}^2. Pokaži, da je Id\colon (\mathbb{R}^2, \tau) \to (\mathbb{R}^2, \tau_E) zvezna, ni pa odprta in ne zaprta.
  4. Pokaži, da je prostor (\mathbb{R}^2, \tau) separabilen, 1-števen in 2-števen.

Rešitev

Osebna orodja