Topologija (FMF)/Naloge/1.kolokvij-2005-12-01/Naloga1/Rešitev

Iz MaFiRaWiki

Točko (x,y,z) identificiramo s trojico (r,\varphi,h), kjer je:

  • h višina vzporedne ravnine ravnini z=0, v kateri leži (x,y,z), torej h = z,
  • \varphi kot, ki ga oklepa vektor (x,y) z izhodiščem ravnine z = h in
  • r polmer vektorja (x,y) v novi ravnini.


Pogoj za prostora se tako glasita:

X=\left\{(r,\varphi,h) \in [0,\infty)\times[0,2\pi)\times[0,\infty)| r<h \right\},

Y=\left\{(r,\varphi,h) \in [0,\infty)\times[0,2\pi)\times[0,\infty)| r<\sqrt{h} \right\}.


Preslikavi f:X\rightarrow Y in g:Y\rightarrow X bomo zato definirali kot:

f(r,\varphi,h)=(\sqrt{r},\varphi,h)

g(r,\varphi,h)=(r^2,\varphi,h)


Prepišimo zgornje v kartezične koordinate:

f(x,y,z)=(\frac{x}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}, \frac{y}{\sqrt[4]{x^2+y^2}},z)

g(x,y,z)=(\sqrt{x^2+y^2}x,\sqrt{x^2+y^2}y,z)

Opazimo, da se je za f pojavil problem z definiranostjo pri (x,y,z) = (0,0,0). Torej posebej f(0,0,0) = (0,0,0).


Vse kar preostane sta zveznost in inverznost f ter g. Zveznost je za g očitna povsod, saj so vse koordinatne funkcije elementarne in zato zvezne. f pa je pravtako zvezna na odprti množici X\setminus \{(0,0,0)\}. Zveznost v (0,0,0) obravnavamo posebej:

\left||f(x,y,z)-f(0,0,0)\right||<\epsilon

\Leftrightarrow \sqrt{ \frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+z^2  }<\epsilon

\Leftrightarrow \sqrt{ \sqrt{x^2+y^2} +z^2  }<\epsilon

\Leftrightarrow^{(1)} \sqrt{ \sqrt{ x^2+y^2+z^2 }  }<\epsilon


\Leftrightarrow \sqrt{ x^2+y^2+z^2 } <\epsilon^2.

Torej f(K(0,0,0),\epsilon^2)\subset K(f(0,0,0),\epsilon).

(1): Uporabili smo \sqrt{x^2+y^2} +z^2<\sqrt{ x^2+y^2+z^2 }, kar je za majhne x,y,z res, saj je neenakost ekvivalentna z^2+2\sqrt{ x^2+y^2}<1, kar je očitno res za točke blizu izhodišča.


Samo še poračunamo fg = IdY in gf = IdX.

Osebna orodja