Topologija (FMF)/Naloge/1.kolokvij-2004-12-09/Naloga3

Iz MaFiRaWiki

Naj bo A \subseteq \mathbb{R}. Definirajmo lA in rA s predpisom l_A = \inf(A \cup \{0\}) ter r_A = \sup(A \cup \{0\}) (možno je, da je lA realno število ali -\infty, podobno je rA lahko število ali pa \infty).

Naj \mathcal{P}(\mathbb{R}) označuje potenčno množico množice \mathbb{R}. Definirajmo funkcijo c\colon \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}(\mathbb{R}) s predpisom c(A) = \begin{cases} \mathrm{Cl}_\mathbb{R}((l_A, r_A)), & l_A \neq r_A, \\ A, & l_A = r_A. \end{cases}

Z besedami: c(A) je zaprtje intervala (lA,rA) v evklidski topologiji na \mathbb{R}, če l_A \neq r_A, oziroma c(A) = A, če je lA = rA.

  1. Pokaži, da je c operator zaprtja za množico \mathbb{R}.
  2. Za A = (1, 2] \cup [3, 4) določi Int(A), Cl(A) ter Fr(A) glede na topologijo, ki jo določa operator zaprtja c.
  3. Določi vsa stekališča zaporedja a_n = \frac{n-1}{n} v topologiji, ki jo določa c.

Rešitev

Osebna orodja