Topologija (FMF)/Naloge/1.kolokvij-2003-12-09/Naloga3

Iz MaFiRaWiki

< Topologija (FMF) | Naloge | 1.kolokvij-2003-12-09

Naj topološki prostor $X$ zadošča aksiomu T₁ in naj bo $*$ točka, ki ne leži v $X$ . Naj bo $\hat{X} = X \cup \{*\}$ in definirajmo

$\tau = \{U \subseteq \hat{X} \mid (* \notin U \mathrm{\ in\ } U \mathrm{\ odprta\ v\ } X) \mathrm{\ ali\ } (* \in U \mathrm{\ in\ } U^C \mathrm{\ koncna})\}$ .

Pokaži, da je $τ$ topologija na prostoru $\hat{X}$ .
Pokaži, da je $\hat{X}$ Hausdorffov prostor natanko tedaj, ko je $X$ diskreten.
Naj bo $X = \mathbb{N}$ . Konstruiraj vložitev $\hat{\mathbb{N}}$ v evklidski prostor $\mathbb{R}$ (natančneje, zaprto zvezno injekcijo iz $\hat{\mathbb{N}}$ v $\mathbb{R}$ ).