Topologija (FMF)/Naloge/1.kolokvij-2003-12-09/Naloga3

Iz MaFiRaWiki

Naj topološki prostor X zadošča aksiomu T1 in naj bo * točka, ki ne leži v X. Naj bo \hat{X} = X \cup \{*\} in definirajmo

\tau = \{U \subseteq \hat{X} \mid (* \notin U \mathrm{\ in\ } U \mathrm{\ odprta\ v\ } X) \mathrm{\ ali\ } (* \in U \mathrm{\ in\ } U^C \mathrm{\ koncna})\}.
  1. Pokaži, da je τ topologija na prostoru \hat{X}.
  2. Pokaži, da je \hat{X} Hausdorffov prostor natanko tedaj, ko je X diskreten.
  3. Naj bo X = \mathbb{N}. Konstruiraj vložitev \hat{\mathbb{N}} v evklidski prostor \mathbb{R} (natančneje, zaprto zvezno injekcijo iz \hat{\mathbb{N}} v \mathbb{R}).

Rešitev

Osebna orodja