Topologija (FMF)/Naloge/1.kolokvij-2003-12-09/Naloga2

Iz MaFiRaWiki

Na množici X = (0, \infty) \times \mathbb{R} definiramo urejenost na sledeči način:

(x1,y1) < (x2,y2), če velja \frac{y_1}{x_1} < \frac{y_2}{x_2} ali pa velja (\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} \mathrm{\ \ in\ \ } x_1^2 + y_1^2 < x_2^2 + y_2^2).

Naj bo U_{(a, b), (c, d)} = \{(x, y) \in X \mid (a, b) < (x, y) < (c, d)\}. Tedaj je \mathcal{B} = \{U_{(a, b), (c, d)} \mid (a, b) < (c, d)\} baza neke topologije na X (tega ni potrebno dokazovati).

  1. Naj bo A = [1, \infty) \times [0, \infty). Določi Int(A), \overline{A} in Meja(A).
  2. Določi vsa stekališča zaporedja a_n = (1, \frac{1}{n}).
  3. Pokaži, da prostor X ni separabilen, je pa 1-števen.

Rešitev

Osebna orodja