Topologija (FMF)/Naloge/1.kolokvij-2002-11-25/Naloga1

Iz MaFiRaWiki

Na množici \mathbb{R}^2 definiramo relacijo < na sledeči način: (x,y) < (x',y') natanko tedaj, ko je x < x' ali ko je x = x' in y < y'. Definiramo

U_{(x, y), (x', y')} := \{(a, b) \in \mathbb{R}^2 \mid (x, y) < (a, b) < (x', y')\}.

Naj bo \mathcal{B} := \{U_{(x, y), (x', y')} \mid (x, y) < (x', y')\}.

  1. Pokaži, da je \mathcal{B} baza neke topologije τ na \mathbb{R}^2.
  2. Naj bo A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid -1 \leq x < 1, -1 \leq y < 1\}. Določi notranjost Int(A) in zaprtje \overline{A} množice A.
  3. Ali je prostor (\mathbb{R}^2, \tau) T1 in ali je T2?
  4. Naj bo a_n = (\frac{1}{n}, 0). Ali je zaporedje (a_n)_{n \in \mathbb{N}} konvergentno?

Rešitev

Osebna orodja