Topologija (FMF)/Naloge/1.kolokvij-1999-12-08/Naloga3

Iz MaFiRaWiki

Naj bo X neskončna množica in naj bo p \in X. V množico X vpeljemo topologijo s predpisom \tau := \{U \subseteq X \mid U^C \mathrm{\ koncna\ ali\ } p \in U^C\}.

  1. Pokaži, da je τ topologija, ki zadošča separacijskim aksiomom T1, T2, T3 in T4.
  2. Pokaži, da je mogoče prostor X zaprto vložiti v prostor realnih števil \mathbb{R}, če je X števna množica (brez izgube splošnosti lahko privzameš X = \{0, 1, 2, 3,\ldots\}, p = 0 v tem primeru). Natančneje, konstruiraj zvezno in zaprto injektivno preslikavo f\colon X \to \mathbb{R}.
  3. Pokaži, da točka p nima števne baze okolic, če je množica neštevna.
    Nasvet. Pri privzetku, da je \{U_i \mid i \in \mathbb{N}\} števna baza okolic za točko p, dokaži, da obstaja q \in \bigcap_{i \in \mathbb{N}} U_i, q \neq p, in iz tega sklepaj na protislovje.

Rešitev

Osebna orodja