Topologija (FMF)/Naloge/1.kolokvij-1996-12-11/Naloga4

Iz MaFiRaWiki

Na množici X = \mathbb{R}^2 definiramo urejenost s pogojem: (x1,x2) < (y1,y2) tedaj in le tedaj, ko je x1 < y1 ali pa velja x1 = y1 in x2 < y2.

Za a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2) \in \mathbb{R}^2 naj bo U_{a, b} := \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid (a_1, a_2) < (x_1, x_2) < (b_1, b_2)\}.

  1. Pokaži, da je družina \mathcal{B} = \{U_{a, b} \mid a, b \in \mathbb{R}^2\} baza neke topologije na \mathbb{R}^2.
  2. Pokaži, da prostor \mathbb{R}^2, opremljen z zgornjo topologijo, zadošča T1, T2 in T3.
  3. Pokaži, da prostor \mathbb{R}^2, opremljen z zgornjo topologijo, ni separabilen.

Rešitev

Osebna orodja