Russellov paradoks

Iz MaFiRaWiki

Russellov paradoks je antinomija v naivni teoriji množic. Odkril ga je filozof Bertrand Russell. Preden matematično razdelamo paradoks se moramo seznaniti z nekaterimi pojmi. Množica lahko vsebuje sama sebe ali pa ne. Množica vsebuje sama sebe, ko ima množica iste lastnosti kot njeni elementi. Npr. množica, ki vsebuje abstraktne elemente vsebuje tudi samo sebe. Saj je tudi ona sama abstraktna. Množica češenj pa ne vsebuje sebe, ker sama množica ni češnja.

Definirajmo množico vseh množic, ki ne vsebujejo same sebe:

R = \{S \mid S \not\in S\}.

Dokažimo, da velja R \in R in R \not\in R, od koder izpeljemo protislovje!

Za vsak element S iz R velja S \not\in S. Torej, če bi veljalo R \in R, bi sledilo R \not\in R in od tod protislovje. Dokazali smo R \not\in R.

Ker velja R \not\in R, ima R lastnost elementov množice R, zato velja R \in R. Dokazali smo tudi R \in R.

Glej tudi

Osebna orodja