Robnik, Marko; Matematični kolokvij junij 2006

Iz MaFiRaWiki

Eksaktna analiza adiabatskih invariant v časovno odvisnem harmonskem oscilatorju: nove univerzalne statistične lastnosti

Marko Robnik

Univerza v Mariboru, CAMTP

15. junij 2006


Teorija adiabatskih invariant v dinamičnih sistemih ima dolgo in bogato zgodovino, ter številne pomembne aplikacije v fiziki (mehanika, elektromagnetizem, kvantna mehanika, statistična mehanika). Najprej bom podal kratek uvod in pregled teorije adiabatskih invariant v hamiltonskih dinamičnih sistemih, nato bom obravnaval splošni časovno odvisni harmonski oscilator, katerega enačba nasploh ni rešljiva. Zanima nas ensemble začetnih pogojev z ostro določeno začetno energijo, vendar z različno fazo (na krivulji konstantne energije), ki se v času razvija v porazdelitev energije z neničelno disperzijo. Izkaže se, da je ta porazdelitev rigorozno univerzalna, saj ni odvisna od podrobnosti časovne odvisnosti hamiltonove funkcije. Za varianco dobimo preprosto eksplicitno formulo, kjer se vidi, da je le-ta odvisna samo od začetne energije, od povprečne končne energije, ter od začetne frekvence ter končne frekvence. Vidi se tudi, kdaj velja idealna adiabatičnost ter ohranitev adiabatske invariante. V splošnem primeru izračunamo varianco uporabljajoč WKB metodo, in sicer do vseh redov v razvoju po potencah adiabatskega parametra. Varianca v splošnem v adiabatski limiti (ko gre adiabatski parameter proti nič) vse hitreje oscilira, vendar v srednjem skalira kot potenca adiabatskega parametra. Pojasnil bom fizikalni pomen teh ugotovitev.

Glej tudi

Matematični kolokviji

Osebna orodja