Razred

Iz MaFiRaWiki

Beseda razred ima več pomenov. Tu je opisan pojem razreda v teoriji množic. Za opis razredov v objektnem programiranju glej članek Razred (programiranje).


Naj bo P poljubna izjava o množicah. Tedaj \{A \mid P(A)\} označuje razred vseh množic, ki imajo lastnost P. Razrede si lahko predstavljamo kot "zelo velike skupke množic". So koristen koncept, ki pa je pogosto predstavljen kot formalni pripomoček, saj se lahko vedno znebimo omembe razredov:

  • B \in \{A \mid P(A)\} nadomestimo s P(B).
  • \{A \mid P(A)\} = \{B \mid Q(B)\} nadomestimo z \forall A .\, (P(A) \iff Q(A)).
  • \{A \mid P(A)\} \subseteq \{B \mid Q(B)\} nadoemstimo z \forall A .\,(P(A) \implies Q(A)).

Pravimo, da je razred \{A \mid P(A)\} množica, če obstaja množica C, za katero velja \forall A.\, (A \in C \iff P(A)). Potemtakem vsaka množica C določa razred \{A \mid A \in C\}, obratno pa ne velja, glej spodnji zgled. Razred je pravi razred, če ni enak nobeni množici.

V von Neumann-Bernays-Gödelovi teoriji množic so razredi aksiomatizirani skupaj z množicami kot osnovni pojem. V Zermelo-Fraenkelov teoriji množic so razredi predstavljeni kot formalni pripomoček.

Zgledi

  • Russellov razred R = \{A \mid A \not\in A\} je pravi razred, kar sledi iz Russellove antinomije.
  • Razred V = \{A \mid A = A\} je razred vseh množic in se imenuje univerzum. Je pravi razred, ker vsebuje Russellov razred kot podrazred.
  • Razred vseh grup je pravi razred.
  • Razred vseh topoloških prostorov je pravi razred.
Osebna orodja