Prosta grupa

Iz MaFiRaWiki

Prosta grupa F(X) generirana z elementi množice X je taka grupa F(X) skupaj s preslikavo i : X \to F(X), za katero velja: za vsako grupo G in funkcijo f : X \to G obstaja natanko en homomorfizem grup \phi : F(X) \to G, da velja φ(i(x)) = f(x) za vse x \in X. S to zahtevo je prosta grupa določena do izomorfizma natančno. Elementom množice X pravimo generatorji proste grupe.

Prosta grupa je končno generirana, če je množica njenih generatorjev končna.

Vsebina

Konstrukcija proste grupe

Naj bo A = {a_1, a_2, \ldots, a_n} končna ali neskončna abeceda. Najprej konstruiramo novo abecedo: A' = A × {+,-}. Namesto (a,+) lahko pišemo a+, namesto (a,-) pa a-. Besednjak A'* je prost monoid nad A'. Nad A' definiramo involucijo i:A' → A' s predpisoma i(a,+) = (a,-) in i(a,-) = (a,+), ki jo razširimo na A'* tako da velja i(uv) = i(v)i(u).

Na besednjaku definiramo ekvivalenčno relacijo ~, v kateri sta besedi u in v ekvivalentni, če in samo če lahko eno dobimo iz druge z vrivanjem (ali brisanjem) zaporednih parov oblike x i(x). Ekvivalenca je usklajena s stikanjem (je kongruenca). Faktorska množica A'*/~ je grupa za stikanje in je iskana prosta grupa F(A). Enota je ekvivalenčni razred prazne besede. Inverz za razred besede w je razred besede i(w).

Kategorna definicija proste grupe

Prosta grupa je levi adjunkt F : \mathsf{Set} \to \mathsf{Grp} pozabljivega funktorja U : \mathsf{Grp} \to \mathsf{Set} iz kategorije grup \mathsf{Grp} v kategorijo množic \mathsf{Set}.

Zgledi

  • Prosta grupa F(a) = \{\epsilon, a^+, a^-, a^+a^+, a^-a^-, \dots \}, generirana z enim samim generatorjem, je izomorfna grupi celih števil.
  • Prosta grupa F(a,b) = \{\epsilon, a^+, a^-, b^+, b^-, a^+a^+, a^-a^-,  a^+b^+, a^-b^-,  b^+a^+, b^-a^-,  b^+b^+, b^-b^-, \dots \} ni komutativna. Nobena prosta grupa z več kot enim generatorjem ni komutativna.

Glej tudi

Osebna orodja