Plestenjak, Bor, Kolokvij april 2016

Iz MaFiRaWiki

Determinantne upodobitve polinomov dveh spremenljivk

Bor Plestenjak

Univerza v Ljubljani, FMF


Znano je, da za polinom p stopnje n lahko enostavno najdemo taki n\times n matriki A in B, da je det(A + xB) = p(x). Tako lahko računanje ničel polinoma prevedemo na rešševanje posploššenega problema lastnih vrednosti.

Pokazali bomo, da lahko podoben pristop uporabimo tudi za rešševanje sistemov dveh polinomov dveh spremenljivk. Pravimo, da matrike A,B,C tvorijo determinantno upodobitev polinoma dveh spremenljivk p, če velja det(A + xB + yC) = p(x,y). Čeprav je Dixon žže leta 1902 pokazal, da za vsak polinom dveh spremenljivk stopnje n obstaja determinantna upodobitev s simetričnimi matrikami velikosti n\times n, do zdaj ni znana nobena enostavna konstrukcija. Predstavljenih bo nekaj učinkovitih konstrukcij determinantnih upodobitev z večjimi matrikami in upodobitve z nesimetričnimi matrikami velikosti n\times n za generičen polinom dveh spremenljivk stopnje n.

Tako lahko sistem dveh polinomov dveh spremenljivk prevedemo na dvoparametrični problem lastnih vrednosti in iskanje ničel prevedemo na računanje lastnih vrednosti. Dobljene numerične metode so za polinome nizkih stopenj konkurenčne obstoječim metodam.

Osebna orodja