Odvod

Iz MaFiRaWiki

Ta članek ali del članka je v delu. Veseli bomo, če ga boste dopolnili in popravili.

Kaj pomeni to opozorilo?

Odvod funkcije f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} v točki x je vrednost limite

f'(x) = \lim_{y \to x} \frac{f(y)-f(x)}{y-x}.

enakovredno: f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}. Če limita obstaja, pravimo da je funkcija v točki x diferenciabilna. Če limita ne obstaja, funkcija v točki x nima odvoda.

Odvod se lahko piše tudi v obliki diferenciala.

f'(x) = \frac{dy}{dx}

Odvod funkcije je mera za njen naklon:

  • če je odvod enak nič, je funkcijska vrednost lokalno konstantna
  • če je odvod pozitiven, funkcijske vrednosti lokalno rastejo
  • če je odvod negativen, funkcijske vrednosti lokalno padajo


Funkcija f je odvedljiva v a natanko tedaj, kadar obstajata levi in desni odvod in sta enaka.

Funkcija f je odvedljiva na (a,b), če je odvedljiva v vsaki točki intervala (a,b).

Funkcija f je odvedljiva na [a,b], če je odvedljiva na (a,b) in ima v krajišču a desni, v krajišču b pa levi odvod.

Če je funkcija f v točki x odvedljiva, potem je f v x zvezna.

Zvezno odvedljivim funkcijam pravimo gladke funkcije.

Pravila za računanje odvoda

  • \left(af + bg\right)' = af' + bg' za poljubne funkcij f, g in fixen a, b.
    • Specialno \left(af\right)' = af' in \left(f+g\right)' = f'+g'.
  • \left(fg\right)' = f'g + fg' za vse funkcije f, g.
  • \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} za vse funkcije f, g, kje g≠ 0.
  • Če f (x) = h\left(g(x)\right), potem f'(x) = h'(g(x)) \left(g(x)\right)'.

Primeri

Odvod funkcije x2

f'(x^2) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2hx+h^2}{h} = \lim_{h \to 0} 2x+h = 2x

Glej tudi

Osebna orodja