Nedoločeni integral

Iz MaFiRaWiki

Ta članek ali del članka je v delu. Veseli bomo, če ga boste dopolnili in popravili.

Kaj pomeni to opozorilo?

Nedoločeni integral ali primitivna funkcija funkcije f : \mathcal{I} \to \mathbb{R} je taka funkcija F : \mathcal{I} \to \mathbb{R}, da velja \forall x \in \mathcal{I} : F'(x) = f(x), kjer F' označuje odvod funkcije F.

Nedoločeni integral je določen do konstante natančno, tj. če je F nedoločeni integral funkcije f, potem je tudi F + C nedoločeni integral funkcije f, kjer je C poljubna konstanta, saj je (F + C)' = F' = f.

Vsebina

Eksistenca primitivne funkcije

Vsaka zvezna funkcija ima primitivno funkcijo. V splošnem pa eksistenca primitivne funkcije ni zagotovljena. Primer je funkcija f(x)= \begin{cases} 1; & -1 \leq x \leq 0 \\ -1; & 0<x \leq 1 \end{cases}, ki nima primitivne funkcije (f ni zvezna).

Dokaz: Denimo, da njen nedoločeni integral obstaja in ga označimo z F. Velja torej \forall x \in [-1, 1] : F'(x)=f(x). Ker je F odvedljiva, je tudi zvezna. Naj bo 0 < a < 1. Ker je F zvezna, doseže v nekem c, -a \leq c \leq a svoj maksimum na [ − a,a]. Ker je f( − a) = F'( − a) = 1, F v točki a narašča. Podobno F v točki a pada. Torej je c notranja točka. Tako obstaja c, − 1 < c < 1, da je F'(c) = 0, oziroma, f(c) = 0, kar pa je protislovje, saj je f([ − 1,1]) = { − 1,1}.

Pravila za integriranje

  • \int (f(x)+g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx
  • \int (\lambda f)(x)dx = \lambda \int f(x)dx
  • \int (\lambda f + \mu g)(x)dx = \lambda \int f(x)dx + \mu \int g(x)dx
  • Integracija per partes (po delih): \int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)dx

Nedoločeni integral elementarnih funkcij

  • \int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
  • \int \frac{1}{x}\, dx = \log x + C
  • \int e^x\, dx = e^x + C
  • \int a^x\, dx = \frac{a^x}{\log a} + C
  • \int \log x\, dx = -x + x \log x + C
  • \int \sin x\, dx = - \cos x + C
  • \int \cos x\, dx = \sin x + C
  • \int \tan x\, dx = -\log \cos x + C
  • \int \cot x\, dx = \log \sin x + C
  • \int \frac{1}{\cos^2 x}\, dx = \tan x + C
  • \int \frac{1}{\sin^2 x}\, dx = - \cot x + C
  • \int \sinh x\, dx = \cosh x + C
  • \int \cosh x\, dx = \sinh x + C

Literatura

  • J. Globevnik, M. Brojan: Analiza I. DMFA-založništvo, Ljubljana, 2008. [1]
Osebna orodja